Calcolo delle Variazioni
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AVVISO:
ho aggiunto un file di esercizi (vedere sotto materiale di supporto)
Docente: Prof.ssa Maria Giovanna Mora Ufficio: stanza C5, Dipartimento di Matematica, via Ferrata 1 Telefono: 0382 985687 E-mail: mariagiovanna.mora@unipv.it Ricevimento studenti: il ricevimento è su appuntamento (per e-mail) Contenuti: Funzioni convesse. Funzioni semicontinue inferiormente. Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Funzionali integrali in spazi di Lebesgue e spazi di Sobolev. Rilassamento. Equazione di Eulero-Lagrange. Equazione di DuBois-Reymond. Gamma-convergenza e qualche sua applicazione. Programma dettagliato: Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Funzioni semicontinue inferiormente: definizione sequenziale e topologica, proprietà. Funzioni coercive e sequenzialmente coercive. Funzioni convesse: dominio, epigrafico, proprietà. Una funzione convessa localmente limitata è localmente lipschitziana. Funzioni polare e bipolare. Teorema di Fenchel-Moreau. Disuguaglianza di Jensen. Inviluppo semicontinuo inferiormente e inviluppo convesso. Funzioni di Carathéodory. Funzionali integrali in spazi di Lebesgue: semicontinuità rispetto a topologie forte e debole. Operatori di Nemytskii. Teorema di Dunford-Pettis (senza dimostrazione). Lemma di Riemann-Lebesgue. Convessità è condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità debole. Richiami su spazi di Sobolev (definizione, proprietà, convergenze, immersioni, teorema di traccia, teorema di Meyers-Serrin, spazio W^{1,p}_0, disuguaglianza di Poincaré). Funzionali integrali su spazi di Sobolev: semicontinuità rispetto a topologie forte e debole. Quasi-convessità, policonvessità e convessità di rango uno. Quasi-convessità è condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità debole (con dimostrazione della sola condizione necessaria). Rilassamento. Differenziabilità secondo Fréchet e secondo Gâteaux. Equazione di Eulero-Lagrange. Equazione di DuBois-Reymond. Risultati di regolarità per problemi uno-dimensionali. Gamma-convergenza: teorema fondamentale, stabilità rispetto a perturbazioni continue, relazioni con convergenza uniforme e puntuale, Gamma-liminf e Gamma-limsup, semicontinuità inferiore del Gamma-limite, rilassamento, Gamma-convergenza di successioni monotone. Gamma-convergenza di funzionali quadratici sotto l'ipotesi di convergenza uniforme dei coefficienti. Omogeneizzazione di funzionali quadratici. Bibliografia: G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, One-dimensional Variational Problems, An Introduction, Oxford University Press, 1998 B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer 2002, 2nd edition A. Braides, Gamma-convergence for beginners, Oxford University Press, 2002 I. Ekeland, R. Temam, Convex analysis and variational problems, North-Holland Publishing Co., 1976 G. Dal Maso, An introduction to Gamma-convergence, Birkhaüser, 1993 Date d'esame: 19/01/15, 19/02/15, 23/06/15, 14/07/15, 10/09/15, 24/09/15 ore 9:30 Materiale di supporto: Esercizi Diario delle lezioni: 02/10/14: metodo diretto, funzioni semicontinue inferiormente (definizione topologica e sequenziale) (2h) 03/10/14: funzioni convesse (2h) 09/10/14: dualità tra funzioni convesse, Teorema di Fenchel-Moreau (2h) 10/10/14: funzioni di Carathéodory, funzionali integrali su spazi di Lebesgue (2h) 16/10/14: operatori di Nemytskii, richiami sulle topologie deboli (2h) 17/10/14: teorema di Dunford-Pettis, lemma di Riemann-Lebesgue (2h) 23/10/14: problemi di minimo su spazi di Lebesgue: alcuni esempi (2h) 24/10/14: teoria astratta del rilassamento (2h) 30/10/14: rilassamento per funzionali integrali su spazi di Lebesgue (2h) 31/10/14: spazi di Sobolev (2h) 06/11/14: spazi di Sobolev, funzionali integrali su spazi di Sobolev (2h) 07/11/14: problemi di minimo su spazi di Sobolev: alcuni esempi (2h) 13/11/14: problemi di minimo su spazi di Sobolev: alcuni esempi (2h) 14/11/14: convessità come condizione necessaria per la semicontinuità nel caso scalare (2h) 20/11/14: quasi-convessità, policonvessità e convessità di rango uno (2h) 21/11/14: quasi-convessità come condizione necessaria per la semicontinuità, differenziabilità secondo Gâteaux e secondo Fréchet (2h) 27/11/14: equazione di Eulero-Lagrange, formulazione debole (2h) 28/11/14: equazione di DuBois-Reymond, regolarità per problemi uno-dimensionali (2h) 02/12/14: applicazioni al problema dell'elasticità, problema con ostacolo (2h) 04/12/14: introduzione alla teoria astratta della Gamma-convergenza (2h) 11/12/14: teorema fondamentale della Gamma-convergenza (2h) 12/12/14: esercizi e esempi di Gamma-convergenza (2h) 08/01/15: Gamma-convergenza di funzionali quadratici (2h) 09/01/15: omogeneizzazione (2h) |