| 1 | Mercoledì 4.3.2026 14-16 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Leggi di conservazione per massa e quantità di moto (equazione di Eulero). Pressione, densità, velocità. |
1.1 |
| 2 | Giovedì 5.3.2026 16-18 |
Linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\) e onda sferica. Condizioni al bordo per l'equazione delle onde: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. Equazione delle onde non omogenea, aeroacustica. Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Numero d'onda, ampiezza, fase, lunghezza d'onda. Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Equazione delle onde smorzata, numero d'onda complesso. Equazioni ellittiche ed equazioni iperboliche. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. |
1.1 1.1.1 1.2 |
| 3 | Mercoledì 11.3.2026 14-16 |
Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. Soluzione delle equazioni di Maxwell con dipendenza data da una variabile: TE e TM modes, riduzione ad un problema di Helmholtz 2D. Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo. Potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. |
1.3 1.4 |
| 4 | Giovedì 12.3.2026 16-18 |
Commenti sull'elastodinamica: condizioni al bordo, accoppiamento con onde acustiche, altre notazioni.
Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D e in 2D. Onde piane, viaggianti e stazionarie. Lunghezza d'onda. Onde evanescenti. Onde piane vettoriali, longitudinali e trasversali. Soluzioni dell'equazione di Helmholtz separabili in coordinate polari: funzioni di Bessel. |
2.1 2.2 2.2.1 2.3 |
| 5 | Mercoledì 18.3.2026 14-16 |
Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. Relazioni tra onde piane e circolari, formula di Jacobi-Anger, funzioni di Herglotz. Domini Lipschitz e spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev \(H^s\) per \(s\in\mathbb R\) sul bordo di un disco. |
2.3 2.4 3.1 3.2 3.3.1 |
| 6 | Giovedì 19.3.2026 16-18 |
Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. Norme equivalenti per gli spazi \(H^{\pm1/2}(\partial\Omega)\) attraverso gli operatori di traccia. Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. |
3.3.2 3.3.3 3.3.4 4.1 |
| 7 | Mercoledì 25.3.2026 16-18 |
Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. Condizione di Sommerfeld; soluzioni uscenti. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. Esempi numerici. Problemi troncati. Far-field pattern. Problemi di scattering diretti e inversi. |
4.3.1 4.3.2 4.3.3 |
| 8 | Giovedì 26.3.2026 16-18 |
Ripasso: problemi esterni di Dirichlet. Soluzione fondamentale \(\Phi_k(\mathbf{x},\mathbf{y})\) dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\). Relazione di traccia \(\gamma\mathcal S=S\), dimostrazione. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Forma variazionale della BIE. Metodo BEM-collocazione. Forma matriciale. Discretizzazione con costanti a tratti. |
5.1 5.2 |
| 9 | Mercoledì 1.4.2026 16-18 |
Ripasso: problemi esterni, single layer, BIE, e metodo BEM. Metodo BEM-Galerkin. Sistema lineare denso, non hermitiano. Riduzione dimensionale rispetto al metodo FEM. Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. |
5.2 5.2.1 |
| Interruzione per Pasqua | |||
| 10 | Mercoledì 8.4.2026 16-18 |
Descrizione del progetto BEM da implementare, possibili estensioni. Prima e seconda identità di Green. Funzioni \(H^1\) definite a tratti. |
5.2.2 3.4 |
| 11 | Giovedì 9.4.2026 16-18 |
Problemi variazionali non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, condizioni che garantiscono la buona posizione. Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: caso di un disco e di un rettangolo, autofunzioni, disuguaglianza di Garding. Le autofunzioni di Dirichlet hanno traccia di Neumann non nulla e viceversa. |
3.5 4.2 |
| 12 | Mercoledì 15.4.2026 16-18 |
Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. Problema interno di impedenza: disuguaglianza di Garding e buona posizione. Autofunzioni, creeping waves, biliardi, quasi-risonanze per problemi esterni, risonanze nel piano complesso. Remark 4.37: TE e TM modes per lo scattering di onde elettromagnetiche. Scattering da parte di molti dischi: espansione in multipoli. |
4.2.1 4.2.2 4.3.3 |
| 13 | Giovedì 16.4.2026 16-18 |
Buona posizione del problema di Dirichlet esterno: mappa DtN, problema troncato, lifting, formulazione variazionale, disuguaglianza di Garding, lemma di Rellich. Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. |
4.4 5.3 |
| 14 | Mercoledì 22.4.2026 16-18 |
Ripasso: formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. Proprietà delle soluzione uscenti. Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Non esistono soluzioni uscenti di Helmholtz definite su tutto il piano. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. Formula della traccia di Dirichlet del potenziale di double layer. |
5.3 5.4 |
| 15 | Giovedì 23.4.2026 16-18 |
Ripasso: potenziali e operatori integrali di single- e double-layer, rappresentazione integrale di Green. Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce di Dirichlet e di Neumann dei due potenziali, formule dei salti e delle medie. Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale, conseguenze. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. Esempio di densità \(\psi\) per un problema di scattering. Approssimazione di Kirchhoff, esempio. Schermi: ostacoli piatti. |
5.5 5.6 |
| 16 | Mercoledì 29.4.2026 16-18 |
L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). L'operatore di single-layer per l'equazione di Helmholtz è Fredholm. Buona posizione dell'equazione integrale lontano dalle risonanze spurie, conseguenze per il metodo BEM. Operatori di single-layer per l'equazione di Laplace e di reazione-diffusione; decomposizione dell'operatore per Helmholtz in parte invertibile e parte compatta. La differenza tra operatori di single-layer è compatta (sketch). L'operatore di single-layer per l'equazione di reazione-diffusione è coercivo. |
6.1.1 6.1.2 6.1.4 6.1.5 |
| 17 | Giovedì 30.4.2026 16-18 |
Tentativi di costruire un'equazione integrale ben posta per ogni numero d'onda. Equazione integrale con il double-layer. Due equazioni integrali dirette, del primo e del secondo tipo. Equazioni di Brackhage-Werner e di Burton-Miller: iniettività e buona posizione. |
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 |
| 18 | Mercoledì 6.5.2026 16-18 |
Tracce normali e tangenti di campi vettoriali, spazi H(div) e H(curl). Condizioni di trasmissione per onde acustiche. Equazione \(\nabla\cdot(\frac1\rho\nabla u)+\frac{k^2}\rho u=0\) per \(\rho\) e \(k=\frac\omega c\) discontinui. Condizioni di trasmissione per onde elettromagnetiche: componenti tangenti di \(\mathbf E,\mathbf H\), componenti normali di \(\epsilon\mathbf E,\mu\mathbf H\). Condizioni di trasmissione per modi TE e TM. Indice di rifrazione. Problema di trasmissione di un'onda piana tra due semipiani. Legge di Snell. |
7.1.1 7.1.2 |
| 19 | Giovedì 7.5.2026 16-18 |
Ripasso: problema di trasmissione di un'onda piana tra due semipiani, riflessione totale, onde evanescenti. Problema di trasmissione con due interfacce parallele: guida d'onda aperta, modi guidati, esempi fisici. Problemi di trasmissione tra un dominio limitato e il complemento, esempi. Proiettori di Calderón, definizione e proprietà. Derivazione delle BIE del primo e del secondo tipo per il problema di trasmissione. |
7.1.3 7.1.4 |
| 20 | Mercoledì 13.5.2026 16-18 |
Equazione di Helmholtz in un mezzo eterogeneo, problema nel piano con indice di rifrazione variabile. Formulazione variazionale su un dominio troncato e buona posizione. Operatore integrale di volume. Equazione integrale di volume di Lippmann-Schwinger. Approssimazione con il metodo di collocazione e di Galerkin, costanti a tratti, calcolo delle matrici e dei termini noti. Proprietà del metodo, confronto con BEM e FEM. Serie e approssimazione di Born, discrete dipole approximation (DDA). |
7.2 7.2.1 7.2.2 |
| 21 | Giovedì 14.5.2026 16-18 |
Convergenza del metodo di Galerkin per problemi che soddisfano una disuguaglianza di Garding in astratto: argomento di Schatz, parametro di approssimabilità, problema duale, dimostrazione. Applicazione agli elementi finiti per il problema di Helmholtz con condizioni di Dirichlet o di impedenza. Stima del valore dell'ampiezza della mesh necessario per garantire buona posizione e quasi-ottimalità. Proprietà di stabilità, regolarità, approssimazione. Dipendenza della mesh dal numero d'onda: pollution effect, esempi numerici in una dimensione. Breve discussione dell'estensione dell'analisi dell'errore per il metodo BEM-Galerkin per l'equazione del single layer. |
6.3.1 6.3.2 |