| 1 | Mercoledì 4.3.2026 14-16 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Leggi di conservazione per massa e quantità di moto (equazione di Eulero). Pressione, densità, velocità. |
1.1 |
| 2 | Giovedì 5.3.2026 16-18 |
Linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\) e onda sferica. Condizioni al bordo per l'equazione delle onde: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. Equazione delle onde non omogenea, aeroacustica. Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Numero d'onda, ampiezza, fase, lunghezza d'onda. Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Equazione delle onde smorzata, numero d'onda complesso. Equazioni ellittiche ed equazioni iperboliche. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. |
1.1 1.1.1 1.2 |
| 3 | Mercoledì 11.3.2026 14-16 |
Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. Soluzione delle equazioni di Maxwell con dipendenza data da una variabile: TE e TM modes, riduzione ad un problema di Helmholtz 2D. Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo. Potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. |
1.3 1.4 |
| 4 | Giovedì 12.3.2026 16-18 |
Commenti sull'elastodinamica: condizioni al bordo, accoppiamento con onde acustiche, altre notazioni.
Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D e in 2D. Onde piane, viaggianti e stazionarie. Lunghezza d'onda. Onde evanescenti. Onde piane vettoriali, longitudinali e trasversali. Soluzioni dell'equazione di Helmholtz separabili in coordinate polari: funzioni di Bessel. |
2.1 2.2 2.2.1 2.3 |
| 5 | Mercoledì 18.3.2026 14-16 |
Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. Relazioni tra onde piane e circolari, formula di Jacobi-Anger, funzioni di Herglotz. Domini Lipschitz e spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev \(H^s\) per \(s\in\mathbb R\) sul bordo di un disco. |
2.3 2.4 3.1 3.2 3.3.1 |
| 6 | Giovedì 19.3.2026 16-18 |
Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. Norme equivalenti per gli spazi \(H^{\pm1/2}(\partial\Omega)\) attraverso gli operatori di traccia. Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. |
3.3.2 3.3.3 3.3.4 4.1 |
| 7 | Mercoledì 25.3.2026 16-18 |
Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. Condizione di Sommerfeld; soluzioni uscenti. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. Esempi numerici. Problemi troncati. Far-field pattern. Problemi di scattering diretti e inversi. |
4.3.1 4.3.2 4.3.3 |
| 8 | Giovedì 26.3.2026 16-18 |
Ripasso: problemi esterni di Dirichlet. Soluzione fondamentale \(\Phi_k(\mathbf{x},\mathbf{y})\) dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\). Relazione di traccia \(\gamma\mathcal S=S\), dimostrazione. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Forma variazionale della BIE. Metodo BEM-collocazione. Forma matriciale. Discretizzazione con costanti a tratti. |
5.1 5.2 |
| 9 | Mercoledì 1.4.2026 16-18 |
Ripasso: problemi esterni, single layer, BIE, e metodo BEM. Metodo BEM-Galerkin. Sistema lineare denso, non hermitiano. Riduzione dimensionale rispetto al metodo FEM. Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. |
5.2 5.2.1 |
| Interruzione per Pasqua | |||
| 10 | Mercoledì 8.4.2026 16-18 |
Descrizione del progetto BEM da implementare, possibili estensioni. Prima e seconda identità di Green. Funzioni \(H^1\) definite a tratti. |
5.2.2 3.4 |
| 11 | Giovedì 9.4.2026 16-18 |
Problemi variazionali non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, condizioni che garantiscono la buona posizione. Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: caso di un disco e di un rettangolo, autofunzioni, disuguaglianza di Garding. Le autofunzioni di Dirichlet hanno traccia di Neumann non nulla e viceversa. |
3.5 4.2 |
| 12 | Mercoledì 15.4.2026 16-18 |
Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. Problema interno di impedenza: disuguaglianza di Garding e buona posizione. Autofunzioni, creeping waves, biliardi, quasi-risonanze per problemi esterni, risonanze nel piano complesso. Remark 4.37: TE e TM modes per lo scattering di onde elettromagnetiche. Scattering da parte di molti dischi: espansione in multipoli. |
4.2.1 4.2.2 4.3.3 |
| 13 | Giovedì 16.4.2026 16-18 |
Buona posizione del problema di Dirichlet esterno: mappa DtN, problema troncato, lifting, formulazione variazionale, disuguaglianza di Garding, lemma di Rellich. Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. |
4.4 5.3 |
| 14 | Mercoledì 22.4.2026 16-18 |
Ripasso: formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. Proprietà delle soluzione uscenti. Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Non esistono soluzioni uscenti di Helmholtz definite su tutto il piano. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. Formula della traccia di Dirichlet del potenziale di double layer. |
5.3 5.4 |
| 15 | Giovedì 23.4.2026 16-18 |
Ripasso: potenziali e operatori integrali di single- e double-layer, rappresentazione integrale di Green. Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce di Dirichlet e di Neumann dei due potenziali, formule dei salti e delle medie. Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale, conseguenze. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. Esempio di densità \(\psi\) per un problema di scattering. Approssimazione di Kirchhoff, esempio. Schermi: ostacoli piatti. |
5.5 5.6 |
| 16 | Mercoledì 29.4.2026 16-18 |
L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). L'operatore di single-layer per l'equazione di Helmholtz è Fredholm. Buona posizione dell'equazione integrale lontano dalle risonanze spurie, conseguenze per il metodo BEM. Operatori di single-layer per l'equazione di Laplace e di reazione-diffusione; decomposizione dell'operatore per Helmholtz in parte invertibile e parte compatta. La differenza tra operatori di single-layer è compatta (sketch). L'operatore di single-layer per l'equazione di reazione-diffusione è coercivo. |
6.1.1 6.1.2 6.1.4 6.1.5 |
| 17 | Giovedì 30.4.2026 16-18 |
||
| 18 | Mercoledì 6.5.2026 16-18 |
||
| 19 | Giovedì 7.5.2026 16-18 |
||
| 20 | Mercoledì 13.5.2026 16-18 |
||
| 21 | Giovedì 14.5.2026 16-18 |
||
| Mercoledì 20.5.2026 |
Spring workshop - https://sites.google.com/view/compmat-spring-2026 | ||
| 22 | Giovedì 21.5.2026 16-18 |
||
| 23 | Mercoledì 27.5.2026 16-18 |
||
| 24 | Giovedì 28.5.2026 16-18 |