| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MNAPDE2024/MNAPDE2024.html |
| Pagina ufficiale: | https://unipv.unifind.cineca.it/resource/af/396576%5F443971 |
| Pagina Kiro: | https://elearning.unipv.it/course/view.php?id=6725 |
| Semestre: | Primavera 2024 |
| Ricevimento: | Su appuntamento |
| Crediti formativi: | 6 |
| Lezioni: | Martedì 14:00 - 16:00 |
| Mercoledì 14:00 - 16:00
Aula C12/C13 dipartimento di matematica + Zoom (link su Kiro). Agli studenti verrà dato accesso alla cartella G-Drive con le registrazioni delle lezioni. | |
| Date appelli: | 14 giugno, 17 luglio, 3 settembre, 18 settembre 2024. Contattare i docenti in anticipo per prendere appuntamento. |
| 1 | Martedì 07.05.2024 14-16 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Pressione, densità, velocità; conservazione delle massa e della quantità di moto; linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\). |
1.1 |
| 2 | Mercoledì 08.05.2024 14-16 |
Condizioni al bordo per l'equazione delle onde: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Numero d'onda, lunghezza d'onda, ampiezza, fase. Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Equazione delle onde smorzata, numero d'onda complesso. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo, potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. |
1.2 1.3 1.4 |
| 3 | Martedì 14.05.2024 14-16 |
Tipi di onde: lineari e non-lineari, scalari e vettoriali, longitudinali e trasversali, in tempo e in frequenza.
Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D e in 2D. Onde piane, propagative e stazionarie. Onde piane vettoriali. Onde evanescenti. Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. Funzioni di Herglotz. Domini Lipschitz e spazi di Sobolev. |
2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 |
| 4 | Mercoledì 15.05.2024 14-16 |
Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. |
3.3 4.1 |
| 5 | Martedì 21.05.2024 14-16 |
Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. Condizione di Sommerfeld. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. Problemi troncati. Far-field pattern. Problemi di scattering diretti e inversi. |
4.3.1 4.3.2 (4.3.3) |
| 6 | Mercoledì 22.05.2024 14-16 |
Soluzione fondamentale \(\Phi_k(\mathbf{x},\mathbf{y})\) dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\), relazione attraverso la traccia. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Forma variazionale della BIE. Metodo BEM-collocazione. Forma matriciale. Discretizzazione con costanti a tratti. Metodo BEM-Galerkin. Sistema lineare denso, non-hermitiano. Riduzione dimensionale rispetto al metodo FEM. |
5.1 5.2 |
| 7 | Martedì 28.05.2024 14-16 |
Ripasso: problemi esterni, potenziale ed operatore di single-layer, BIE, BEM. Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. Descrizione del progetto BEM da implementare; possibili estensioni. |
5.2.1 5.2.2 |
| 8 | Mercoledì 29.05.2024 14-16 |
Prima e seconda identità di Green. Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Non esistenza di soluzioni uscenti di Helmholtz su tutto il piano. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. Formula della traccia di Dirichlet del potenziale di double layer. |
3.4 5.3 5.4 |
| 9 | Martedì 04.06.2024 14-16 |
Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce dei due potenziali, formule dei salti e delle medie. Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale, conseguenze. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. Esempio di densità \(\psi\) per un problema di scattering. Approssimazione di Kirchhoff. Problemi variazionali (\(u\in H,\mathcal{A}(u,w)=\mathcal{F}(w)\;\forall w\in H\)) non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, conseguenze. Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: autofunzioni, disuguaglianza di Garding, decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. Problema di Helmholtz con condizioni di impedenza: forma variazionale e buona posizione. |
5.5 5.6 3.4 4.2.1 |
| 10 | Mercoledì 05.06.2024 14-16 |
L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). L'operatore di single-layer per l'equazione di Helmholtz è Fredholm. Buona posizione dell'equazione integrale lontano dalle risonanze spurie, conseguenze per il metodo BEM. Decomposizione dell'operatore di single-layer in parte invertibile (Laplace o reazione-diffusione) e parte compatta. Tentativi di costruire un'equazione integrale ben posta per ogni numero d'onda. Equazione integrale con il double-layer. Due equazioni integrali dirette, del primo e del secondo tipo. Equazioni di Brackhage-Werner e di Burton-Miller: iniettività e buona posizione. |
6.1.1 6.1.2 6.2 |