| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MNAPDE2023/MNAPDE2023.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/portale/corso.php?lingua=1&idAttivitaFormativa=396485 |
| Pagina Kiro: | https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=88236 |
| Semestre: | Primavera 2023 |
| Ricevimento: | Su appuntamento |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 24 (48 totali) |
| Lezioni: | Martedì 14:00 - 16:00, E9 |
| Mercoledì 14:00 - 16:00, E9
Le registrazioni delle lezioni dell'anno 2021 saranno rese disponibili su Google Drive, il link verrà comunicato entro la prima lezione. |
Questa parte del corso riguarderà metodi numerici per problemi di scattering di onde.
In particolare ci occuperemo del metodo degli elementi al bordo (BEM, boundary element method) per l'equazione di Helmholtz \(\Delta u+k^2u=0\).
Alcune immagini ed animazioni di soluzioni dell'equazione di Helmholtz, incluse alcune calcolate con il BEM.
File pdf con le dispense del corso. Per favore segnalate gli errori!
| 1 | Mercoledì 01.03.2023 14-16 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Pressione, densità, velocità; conservazione delle massa e della quantità di moto; linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\). Condizioni al bordo: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. |
1.1 |
| 2 | Martedì 07.03.2023 14-16 |
Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Numero d'onda, ampiezza, fase. Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Equazione delle onde smorzata, numero d'onda complesso. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo, potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. |
1.2 1.3 1.4 |
| 3 | Mercoledì 08.03.2023 14-16 |
Tipi di onde: lineari e non-lineari, scalari e vettoriali, longitudinali e trasversali, in tempo e in frequenza.
Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D e in 2D. Onde piane, propagative e stazionarie. Onde piane vettoriali. Onde evanescenti. Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. Funzioni di Herglotz. |
2.1 2.2 2.3 2.4 |
| 4 | Lunedì 13.03.2023 14-16 |
Spazi di Sobolev su domini Lipschitz. Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. Prima e seconda identità di Green. |
3.1 3.2 3.3 3.4 |
| 5 | Martedì 14.03.2023 14-16 |
Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. Condizione di Sommerfeld. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. Problemi troncati. Problemi di scattering diretti e inversi. |
4.1 4.3.1 4.3.2 |
| 6 | Martedì 21.03.2023 14-16 |
Soluzione fondamentale \(\Phi_k(\mathbf{x},\mathbf{y})\) dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\), relazione attraverso la traccia. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Forma variazionale della BIE. Metodo BEM-collocazione. Forma matriciale. Discretizzazione con costanti a tratti, quadratura. Metodo BEM-Galerkin. Sistema lineare denso, non-simmetrico. Riduzione dimensionale rispetto al metodo FEM. |
5.1 5.2 |
| 7 | Mercoledì 22.03.2023 14-16 |
Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. Descrizione del progetto BEM da implementare; possibili estensioni. |
5.2.1 5.2.2 |
| 8 | Lunedì 27.03.2023 16-18 |
Problemi variazionali (\(u\in H,\mathcal{A}(u,w)=\mathcal{F}(w)\;\forall w\in H\)) non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, conseguenze.
Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: autofunzioni, disuguaglianza di Garding, decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. Problema di Helmholtz con condizioni di impedenza. |
3.5 4.2 |
| 9 | Mercoledì 29.03.2023 14-16 |
Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. Conseguenze: buona posizione del problema al bordo di impedenza. Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. Formula della traccia di Dirichlet del potenziale di double layer. |
5.3 5.4 |
| 10 | Lunedì 03.04.2023 16-18 |
Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce dei due potenziali, formule dei salti e delle medie. Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale, conseguenze. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. Esempio di densità \(\psi\) per un problema di scattering. Approssimazione di Kirchhoff. L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). L'operatore di single-layer per l'equazione di Helmholtz è Fredholm. Buona posizione dell'equazione integrale lontano dalle risonanze spurie, conseguenze per il metodo BEM. Operatori di single-layer per l'equazione di Laplace e di reazione-diffusione. La differenza tra operatori di single-layer è compatta (sketch). |
5.5 5.5.1 6.1.1 6.1.2 6.1.4 |
| 11 | Martedì 04.04.2023 14-16 |
Tentativi di costruire un'equazione integrale ben posta per ogni numero d'onda. Equazione integrale con il double-layer. Due equazioni integrali dirette, del primo e del secondo tipo. Equazioni di Brackhage-Werner e di Burton-Miller: iniettività e buona posizione. (Seminario Alessandro Mondini.) |
6.2 |
| 12 | tbc |