| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola/ | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/CdM2025/CdM2025.html |
| Pagina ufficiale: | https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2025/9449/2025/1/10857 |
| Corso di laurea: | Laurea Magistrale in Ingegneria per l’ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile |
| Semestre: | Autunno 2025 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Lezioni: | Martedì 9-11, E6 |
| Giovedì 11-13, EF2 | |
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Le registrazioni delle lezioni del 2020 sono disponibili sulla pagina Kiro/Panopto del corso: https://elearning.unipv.it/course/view.php?id=10095 | |
| Ricevimento: | Su appuntamento. |
| Dispense (Prof. Marini): | Link al pdf |
| Approfondimenti: | S. Salsa. Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni. Springer, terza edizione, 2016. |
| A. Quarteroni. Modellistica numerica per problemi differenziali. Springer, sesta edizione, 2016. | |
| Appelli d'esame: | Mercoledì 28/01/2026, 10:00, aula1 |
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Venerdì 20/02/2026, 10:00, A4 Lunedì 06/07/2026, 10:00, A4 Lunedì 27/07/2026, 10:00, aula3 Venerdì 04/09/2026, 10:00, A3 Venerdì 18/09/2026, 10:00, A4 Tutti gli appelli si possono trovare a questo link. |
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| Modalità d'esame | L'esame prevede una prova scritta della durata di un'ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso. |
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La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente. Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale, in questo caso ogni esito è possibile. Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file (aggiornato a dicembre 2022). |
La prima parte del corso verrà tenuta dalla Prof. Francesca Gardini.
Il sommario del programma svolto verrà caricato dopo ogni lezione.| Lezioni Gardini | |||
| 1 | Mar 28.10.2025 |
Ripasso di calcolo vettoriale. Teorema della divergenza. Formula di Gauss-Green, dimostrazione usando la formula del prodotto per l'operatore divergenza. Formula di Green per il Laplaciano. Equazione delle onde in più variabili. Membrana oscillante, onde acustiche, onde elettromagnetiche. Derivazione a partire dalle equazioni di Maxwell. Problema ai valori iniziali e al bordo (4.13). Dimostrazione della conservazione dell'energia \(E(t)=E(0)\), stabilità, unicità della soluzione. Esempi: soluzione \(u(x,y,t)=\sin(x)\sin(y)\cos(\sqrt2 ct)\) in \(Q=(0,\pi)\times(0,\pi)\), onde piane \(u(x,y,t)=f(xd_1+yd_2-ct)\) per \(d_1^2+d_2^2=1\). Ripasso: spazi vettoriali lineari. Esempi: \(\mathbb R^n,C^0(\mathbb R)\). |
4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 5.1.1 |
| 2 | Gio 30.10.2025 |
Funzionali lineari e forme bilineari: definizioni, esempi in \(\mathbb R^n\) e in \(C^0([a,b])\). Definizione di norma su uno spazio vettoriale; esempi: norma Euclidea, norma \(p\) e norma \(\infty\) su \(\mathbb R^n\), norme \(L^\infty(a,b)\) e \(L^2(a,b)\). Continuità (limitatezza) di funzionali lineari e di forme bilineari. Esempio: il funzionale \(\ell:C^0([a,b])\to\mathbb R, \ell(v)=v(\frac{a+b}2)\) è continuo rispetto alla norma \(L^\infty(a,b)\) ma non rispetto alla norma \(L^2(a,b)\). Derivazione delle equazioni di continuità, di Fick/Fourier, del calore, equazioni generali di diffusione-trasporto-reazione paraboliche. Equazioni di diffusione-trasporto-reazione ellittiche, equazioni di Poisson e Laplace. |
5.1.2 5.1.3 5.1.4 |
| Lezioni Gardini | |||
| 3 | Mar 18.11.2025 |
Teorema di Lax-Milgram: ripasso. Esercizio: verifica delle ipotesi del teorema di Lax-Milgram per un problema al bordo in una dimensione. Problema di diffusione-reazione con condizioni di Dirichlet omogenee; condizioni non-omogenee; problema di pura diffusione; scelta tra due norme per \(H^1_0(0,L)\). |
5.6 |
| 4 | Gio 20.11.2025 C29 matematica |
Applicazioni del teorema di Lax-Milgram a problemi in 2 dimensioni: problema di Dirichlet (ES1), problema di Neumann (ES2/ES2g), problema a coefficienti variabili e condizioni al bordo miste (ES4). | 5.6.1 5.6.4 5.6.5 5.6.7 |
| 5 | Mar 25.11.2025 |
Approssimazione delle derivate di una funzione con differenze finite. Rapporto incrementale destro e sinistro. Stima dell'errore attraverso l'espansione di Taylor, errore lineare. Interpretazione geometrica delle differenze finite come coefficienti angolari di rette secanti. Rapporto incrementale centrale, errore quadratico, interpretazione geometrica. Approssimazione della derivata seconda: rapporto incrementale secondo, errore quadratico, interpretazione come derivata seconda della parabola interpolante. Effetto della rappresentazione dei numeri in precisione macchina sulle differenze finite, errore di arrotondamento. Metodo delle differenze finite per il problema modello di diffusione 1D. Forma matriciale del metodo delle differenze finite. Matrice sparsa e tridiagonale. Sistema lineare ridotto. |
6.1.2 6.1.3 |
| 6 | Gio 27.11.2025 |
Ripasso: metodo delle differenze finite per il problema modello 1D. Invertibilità della matrice delle differenze finite. Richiamo sulle norme vettoriali e matriciali. Errore di consistenza (troncamento) per il metodo delle differenze finite. Stabilità, stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite, convergenza quadratica. Estensione al caso con un termine di reazione o condizioni al bordo non omogenee. Differenze finite per il problema di Poisson \(-\Delta u=f\) su un poligono \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), con condizioni di Dirichlet \(u=0\) su \(\partial\Omega\); sistema lineare. Metodo degli elementi finiti. Il metodo di Galerkin per il problema modello in una dimensione. Spazio dei polinomi lineari a tratti: funzioni di base (a tenda). |
6.1.4 6.2 |
| 7 | Mar 2.12.2025 |
Esempio di codice Matlab per il metodo delle differenze finite. Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Forma matriciale del metodo di Galerkin. Calcolo della matrice di stiffness e del termine noto per il metodo degli elementi finiti lineari. Come cambia la formulazione e la matrice del metodo degli elementi finiti per un problema di diffusione e reazione (\(-u''+pu=f\)), calcolo della matrice di massa. |
6.2 |
| 8 | Gio 4.12.2025 |
Metodo di Galerkin per un problema variazionale generale. Specializzazione al problema modello in una dimensione e al metodo degli elementi finiti lineari. Buona posizione del metodo attraverso Lax-Milgram. Matrice invertibile, definita positiva, simmetrica. Ortogonalità di Galerkin, stima di quasi-ottimalità (lemma di Cèa), stime di interpolazione e di convergenza. |
6.2.1 |
| 9 | Gio 11.12.2025 | Laboratorio informatico - dipartimento di matematica | |
| 10 | Mar 16.12.2025 | ||
| 11 | Gio 18.12.2025 | ||
| 12 | ... |