| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/CdM2023/CdM2023.html |
| Pagina ufficiale: | https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2023/9449/2015/1/10139 |
| Corso di laurea: | Laurea Magistrale in Ingegneria per l’ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile |
| Semestre: | Autunno 2023 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Lezioni: | Martedì 9-11, E6 |
| Mercoledì 11-13, E6 | |
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Le registrazioni delle lezioni del 2020 sono disponibili su Google Drive. I link Google Drive sono disponibili sulla pagina Kiro del corso: https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=135093 | |
| Ricevimento: | Su appuntamento. |
| Dispense (Prof. Marini): | Link al pdf |
| Approfondimenti: | S. Salsa. Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni. Springer, terza edizione, 2016. |
| A. Quarteroni. Modellistica numerica per problemi differenziali. Springer, sesta edizione, 2016. | |
| Appelli d'esame: | Lunedì 5.2.2024, 11:00, A1 |
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Venerdì 23.02.2024, 09:30, aula3 Lunedì 08.07.2024, 09:00, A4 Giovedì 25.07.2024, 09:00, aula3 Venerdì 06.09.2024, 09:00, A3 Venerdì 20.09.2024, 09:00, A3 Tutti gli appelli si possono trovare a questo link. |
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| Modalità d'esame | L'esame prevede una prova scritta della durata di un'ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso. |
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La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente. Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale, in questo caso ogni esito è possibile. Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file (aggiornato a dicembre 2022). |
La prima parte del corso verrà tenuta dalla Prof. Francesca Gardini.
Il sommario del programma svolto verrà caricato dopo ogni lezione.| 1 | Mar 14.11.2023 | Teorema di Lax-Milgram: ripasso. Equivalenza tra problema variazionale e problema di minimo (dimostrazione). Problema di Dirichlet con condizioni al bordo non omogenee (ES1g). Applicazione del teorema di Lax-Milgram al problema di Neumann (ES2). |
5.5.1 5.6.3 5.6.4 |
| 2 | Mer 15.11.2023 |
Esercizio: verifica delle ipotesi del teorema di Lax-Milgram per un problema al bordo in una dimensione.
Problema a coefficienti variabili (ES4), condizioni sui coefficienti \(k,\gamma\) che garantiscono la buona posizione. Approssimazione delle derivate di una funzione con differenze finite. Rapporto incrementale destro e sinistro. Stima dell'errore attraverso l'espansione di Taylor, errore lineare. Interpretazione geometrica delle differenze finite come coefficienti angolari di rette secanti. Rapporto incrementale centrale, errore quadratico. |
5.6.7 6.1.2 |
| 3 | Mer 22.11.2023 |
Modello di diffusione di una sostanza o del calore: equazioni di continuità, di Fick e del calore. Problema modello 1D come problema di diffusione nel caso stazionario. Ripasso: approssimazione delle derivate di una funzione con differenze finite. Approssimazione della derivata seconda: rapporto incrementale secondo, errore quadratico. Metodo delle differenze finite per il problema modello. Forma matriciale del metodo delle differenze finite. Matrice sparsa e tridiagonale. |
6.1.1 6.1.3 |
| 4 | Mar 28.11.2023 |
Ripasso: metodo delle differenze finite per il problema modello, forme matriciali. Invertibilità della matrice delle differenze finite. Richiamo sulle norme vettoriali e matriciali. Errore di consistenza (troncamento) per il metodo delle differenze finite. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite, convergenza quadratica. Esempio di codice Matlab per il metodo delle differenze finite. Estensione al caso con un termine di reazione o di trasporto. |
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| 5 | Mer 29.11.2023 |
Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Metodo di Galerkin, derivazione della forma matriciale. Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Spazio dei polinomi lineari a tratti, funzioni di base (a tenda). Forma matriciale del metodo degli elementi finiti lineari, calcolo della matrice di stiffness. Come cambia la formulazione e la matrice del metodo degli elementi finiti per un problema di diffusione e reazione (\(-u''+\gamma u=f\)), calcolo della matrice di massa. |
6.2 |
| 6 | Mar 5.12.2023 |
Metodo di Galerkin per un problema variazionale, derivazione della forma matriciale. Specializzazione al problema modello in una dimensione. Buona posizione del metodo attraverso Lax-Milgram. Ortogonalità di Galerkin, stima di quasi-ottimalità, stime di interpolazione e di convergenza. |
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| 7 | Mer 6.12.2023 | Ripetizione della dimostrazione della stima di interpolazione.
Differenze finite per il problema di Poisson \(-\Delta u=f\) su un poligono \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), con condizioni di Dirichlet \(u=0\) su \(\partial\Omega\). Elementi finiti per lo stesso problema. Forma variazionale del problema, metodo di Galerkin, triangolazione e spazio dei polinomi a tratti. Lemma di Lax-Milgram, buona posizione e stabilità del metodo di Galerkin, ortogonalità di Galerkin, ottimalità. Cenni alle stime di approssimazione per spazi di polinomi a tratti. Elementi finiti lineari. Le funzioni lineari a tratti sono determinate dai valori nei nodi. Funzioni di base a tenda. |
6.2.2 |
| 8 | Mar 12.12.2023 |
Ripasso: elementi finiti lineari 2D, funzioni di base. Sparsità della matrice di stiffness. Assemblaggio della matrice di stiffness. Calcolo della matrice locale. Formule di quadratura sui triangoli, calcolo del vettore termine noto locale con le diverse formule di quadratura. Calcolo della matrice di massa. |
6.2.3 6.2.4 6.2.5 |
| 9 | Mer 13.12.2023 | Laboratorio informatico (dipartimento di matematica). Elementi finiti in una dimensione per un problema di diffusione e uno di diffusione-reazione, calcolo dell'errore e plot di convergenza. |
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| 10 | Mer 20.12.2023 | Ripasso: elementi finiti 2D. Struttura dati (vettori x, y e matrice NOD) per il metodo degli elementi finiti. Assemblaggio della matrice di stiffness globale e del termine noto. Imposizione delle condizioni al bordo. Problema di Neumann con termine di reazione. Problemi parabolici: equazione del calore su un intervallo spaziale con condizioni di Dirichlet omogenee. Separazione delle variabili: soluzione del problema con dato iniziale sinusoidale; soluzione con dato iniziale generale. |
6.2.6 7.1 |
| Mar 9.1.2024 | Francesca Gardini | ||
| Mer 10.1.2024 | Francesca Gardini | ||
| Mar 16.1.2024 | Laboratorio informatico (dipartimento di Matematica) Elementi finiti lineari in due dimensioni per problemi di Dirichlet e di Neumann, assemblaggio e risoluzione. FEM101inc.m |
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| Mer 17.1.2024 | Aula E3 - Risposte alle domande |