| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/CdM2022/CdM2022.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/portale/corso.php?idAttivitaFormativa=415333 |
| Corso di laurea: | Laurea Magistrale in Ingegneria per l’ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile |
| Semestre: | Autunno 2022 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Lezioni: | Martedì 9-11, E7 |
| Mercoledì 11-13, E7 | |
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Le registrazioni delle lezioni del 2020 sono disponibili su Google Drive. I link Google Drive sono disponibili sulla pagina Kiro del corso: https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=68578 | |
| Ricevimento: | Su appuntamento. |
| Dispense (Prof. Marini): | Link al pdf |
| Approfondimenti: | S. Salsa. Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni. Springer, terza edizione, 2016. |
| A. Quarteroni. Modellistica numerica per problemi differenziali. Springer, sesta edizione, 2016. | |
| Appelli d'esame: | Lunedì 6.2.2023, 11:00, A1 |
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Venerdì 24.02.2023, 09:30, aula3 Giovedì 23.03.2023, 16:00, aula3 - appello straodinario Lunedì 03.07.2023, 09:00, aula3 Mercoledì 19.07.2023, 09:00, aula3 Giovedì 07.09.2023, 09:00, A3 Giovedì 21.09.2023, 09:00, A3 Tutti gli appelli si possono trovare a questo link. |
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| Modalità d'esame | L'esame prevede una prova scritta della durata di un'ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso. |
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La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente. Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale. Resta inteso che qualunque esito è possibile nel momento in cui lo studente decida di presentarsi anche alla prova orale. Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file (aggiornato a dicembre 2022). |
La prima parte del corso verrà tenuta dalla Prof. Francesca Gardini.
| Mar 29.11.2022 |
Formulazione astratta di un problema variazionale. Lemma di Lax-Milgram: enunciato, dimostrazione dell'unicità e della stabilità. Applicazione del teorema di Lax-Milgram al problema di Dirichlet (ES1): verifica delle ipotesi del teorema per due scelte diverse della norma V. |
5.5 5.5.1 5.6.1 |
| Mer 30.11.2022 |
Stabilità del problema di Dirichlet e relazione con il problema di minimo. Problema di Dirichlet con condizioni al bordo non omogenee (ES1g). Applicazione del teorema di Lax-Milgram al problema di Neumann (ES2). Problema di Neumann con condizioni al bordo non omogenee (ES2g). Problema a coefficienti variabili e condizioni al bordo miste (ES4), condizioni sui coefficienti \(k,\gamma\) che garantiscono la buona posizione. |
5.6.2 5.6.3 5.6.4 5.6.5 5.6.7 |
| Mar 6.12.2022 |
Esercizio: verifica delle ipotesi del teorema di Lax-Milgram per un problema al bordo in una dimensione.
Problema modello per l'equazione differenziale \(-u''=f\) su \((0,L)\) con condizioni di Dirichlet \(u(0)=u(L)=0\). Problema modello come caso semplificato della diffusione del calore e di una sostanza. Approssimazione delle derivate di una funzione con differenze finite. Rapporto incrementale destro e sinistro. Stima dell'errore attraverso l'espansione di Taylor, errore lineare. Interpretazione geometrica delle differenze finite come coefficienti angolari di rette secanti. Rapporto incrementale centrale, errore quadratico. Approssimazione della derivata seconda: rapporto incrementale secondo. |
6.1.2 |
| Mer 7.12.2022 |
Errore quadratico del rapporto incrementale secondo. Metodo delle differenze finite per il problema modello. Forme matriciali del metodo delle differenze finite. La matrice delle differenze finite è sparsa, tridiagonale, invertibile e definita positiva. Esempio di codice Matlab per il metodo delle differenze finite, convergenza quadratica. |
6.1.3 |
| Mar 13.12.2022 |
Errore di consistenza (troncamento) per il metodo delle differenze finite. Richiamo sulle norme vettoriali e matriciali. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Metodo di Galerkin per un problema variazionale. Derivazione della forma matriciale del metodo di Galerkin. Buona posizione del metodo attraverso Lax-Milgram. |
6.2 |
| Mer 14.12.2022 |
Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Spazio dei polinomi lineari a tratti, funzioni di base (a tenda). Forma matriciale del metodo degli elementi finiti lineari, calcolo di matrice e termine noto, quadratura. Come cambiano le matrici dei metodi delle differenze finite e degli elementi finiti per un problema di diffusione e reazione (\(-u''+qu=f\)). Ortogonalità di Galerkin e stima di quasi-ottimalità. |
6.2 |
| Mar 20.12.2022 |
Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione: ortogonalità di Galerkin, ottimalità, stime di interpolazione e di convergenza.
Elementi finiti per il problema di Poisson \(-\Delta u=f\) su un poligono \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), con condizioni di Dirichlet \(u=0\) su \(\partial\Omega\). Forma variazionale del problema, metodo di Galerkin, triangolazione e spazio dei polinomi a tratti. Lemma di Lax-Milgram, buona posizione e stabilità del metodo di Galerkin, ortogonalità di Galerkin, lemma di Céa, ottimalità. Cenni alle stime di approssimazione per spazi di polinomi a tratti. Elementi finiti lineari. Le funzioni lineari a tratti sono determinate dai valori nei nodi. Funzioni di base a tenda. |
6.2.1 6.2.2 |
| Mer 21.12.2022 |
Elementi finiti lineari 2D. Sparsità della matrice di stiffness. Assemblaggio della matrice di stiffness. Calcolo della matrice locale. Formule di quadratura sui triangoli, calcolo del vettore termine noto locale con le diverse formule di quadratura. Struttura dati (vettori x, y e matrice NOD) per il metodo degli elementi finiti. |
6.2.3 6.2.4 6.2.5 |
| Mar 10.1.2023 |
Ripasso: elementi finiti lineari in 2D, struttura dati. Assemblaggio della matrice di stiffness globale e del termine noto. Imposizione delle condizioni al bordo. Problema di Neumann con termine di reazione. Calcolo della matrice di massa. Diffusione di una sostanza: equazioni di continuità. |
6.2.6 |
| Mer 11.1.2023 |
Diffusione di una sostanza: equazioni di continuità, legge di Fick, equazione del calore. Problemi parabolici: equazione del calore su un intervallo spaziale con condizioni di Dirichlet omogenee. Separazione delle variabili: soluzione del problema con dato iniziale sinusoidale; soluzione con dato iniziale generale. Stima dell'energia, stabilità, unicità. Forma variazionale del problema ai valori iniziali per l'equazione del calore in una dimensione. Problema parabolico in due dimensioni spaziali, Laplaciano e condizioni di Dirichlet, forma variazionale. |
7.1 7.2 |
| Mar 17.1.2023 |
Problema ai valori iniziali per l'equazione del calore con condizioni di Dirichlet: ripasso della forma forte e della formulazione variazionale. Semi-discretizzazione con il metodo di Galerkin: elementi finiti lineari in spazio. Sistema di equazioni differenziali ordinarie \(\mathbf{M}\partial_t\vec U+\mathbf{A}\vec U=\vec F\). Differenze finite in tempo (\(\theta\)-metodo): Eulero esplicito ed implicito, Crank-Nicolson. |
7.3 |
| Mer 18.1.2023 | Laboratorio informatico: implementazione del metodo degli elementi finiti lineari su un rettangolo. |