Complementi di Matematica (prima parte)

Laurea Magistrale in Ingegneria per l'ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile
a.a. 2022-2023, I semestre
Università degli Studi di Pavia

Docenti: Francesca Gardini, Andrea Moiola

Lezioni:
martedì 9:00-11:00, Aula E7
mercoledì 11:00-13:00, Aula E7

Le registrazioni delle lezioni dell'a.a. 2020 sono disponibili su Google Drive. I link alla cartella Google Drive sono disponibili sulla pagina Kiro del corso:
https://elearning.unipv.it/mod/page/view.php?id=68578

Ricevimento studenti: studio C14, Dipartimento di Matematica (previo appuntamento)

Dispense:(Prof. Marini) Link al pdf

Approfondimenti:
S. Salsa. Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni. Springer, terza edizione, 2016.
A. Quarteroni. Modellistica numerica per problemi differenziali. Springer, sesta edizione, 2016.

Modalità d'esame:
L'esame in presenza prevede una prova scritta della durata di un'ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso.
La prova scritta si intende superata se la votazione è maggiore o uguale a 18/30.
La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente.
Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale.
Resta inteso che qualunque esito è possibile nel momento in cui lo studente decida di presentarsi anche alla prova orale.
Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file (aggiornato a dicembre 2022).

Registro delle lezioni:

4 ottobre:
Presentazione del corso. Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Ordine di un'equazione differenziale. Esempi. Richiami di calcolo vettoriale: gradiente, divergenza, Laplaciano. Forma generale di un'equazione differenziale di ordine 2. Equazioni lineari; omogenee e non-omogenee. Equazioni non-lineari, quasi-lineari e semi-lineari. Esempi.

5 ottobre:
Problemi ben posti: esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati. Definizioni delle norme euclida e del massimo per vettori e per funzioni. Esempio: buona posizione di un problema al bordo lineare.

12 ottobre:
Equazione del trasporto omogenea (Problema di Cauchy). Caso a coefficienti costanti, metodo delle caratteristiche, espressione della soluzione. Buona posizione del problema. Caso non omogeneo, forzante costante: f(x,t)=1, f(x,t)=k.

19 ottobre:
Equazione del trasporto su un dominio [0,L] in spazio, necessità di condizioni all'inflow; espressione analitica della soluzione. Esercizi su equazione del trasporto

25 ottobre:
Buona positura problema del trasporto su un dominio limitato. Classificazione delle equazioni differenziali del second'ordine lineari, a coefficienti costanti. Equazione delle onde: derivazione della soluzione come somma di due onde, formula di Dalembert

2 novembre: Dominio di dipendenza e influenza tramite formula di D Alembert. Esistenza, unicità e stabilità. Esercizio. Problema ai limiti er l'eq. delle onde.


8 novembre: Problema ai limiti per la corda vibrante. Stabilità (conservazione dell'energia).


9 novembre: Unicità della soluzione del problema della corda vibrante sul dominio (0,L) attraverso la stabilità. Richiami per l'estensione spaziale di dimensione 2. Operatori di Laplaciano, gradiente, divergenza. Teorema della Divergenza. Formule di Gauss-Green in 2 dimensioni (con dimostrazione)


15 novembre: Equazione delle onde in 2D: stabilità, E(t) = costante = E(0), unicità della soluzione. Richiami su spazi vettoriali, norme. Esempi. Applicazioni lineari, bilineari, funzionali


16 novembre: prodotto scalare e norma indotta, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; definizione di forme lineari e bilineari continue. Problemi ellittici e diversi tipi di condizioni ai limiti


22 novembre: Formulazione variazionale dell'equazione di Poisson con condizioni di Dirichlet omogenee; spazi di Hilbert L^2, H^1, H^1_0, prodotti scalari e relative norme. Formulazione debole problema con condizioni di Dirichlet non omogenee, di Neumann omogenee e non


23 novembre: Formulazione variazionale del problema con condizioni al bordo miste;formulazione variazionle del problema a coefficienti variabili con condizioni al bordo miste. Disuguaglianza di Poincare e dimostrazione in una dimensione. Conseguenze disuguaglianza di Poincare