| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/CdM2021/CdM2021.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=363919 |
| http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=363862 | |
| Corso di laurea: | Laurea Magistrale in Ingegneria per l’ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile |
| Semestre: | Autunno 2021 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Lezioni: | Lunedì 9:30-11, E1 |
| Martedì 9:30-11, E1 | |
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Le registrazioni delle lezioni del 2020 sono disponibili su Google Drive. I link Google Drive sono disponibili sulla pagina Kiro del corso: https://elearning2.unipv.it/ingegneria/course/view.php?id=421 | |
| Ricevimento: | Su appuntamento. |
| Dispense (Prof. Marini): | http://arturo.imati.cnr.it/marini/complementi/ |
| Appelli d'esame: | Lunedì 7.2.2021, 11:00, A1 (Attenzione: orario modificato!) |
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Venerdì 25.02.2022, 09:00, aula3 Lunedì 11.04.2022, 11:00, C6, appello straordinario Lunedì 04.07.2022, 09:00, aula3 Mercoledì 20.07.2022, 09:00, aula3 Giovedì 08.09.2022, 09:00, A3 Giovedì 22.09.2022, 09:00, A3 Tutti gli appelli si possono trovare a questo link. | |
| Modalità d'esame | L'esame in presenza prevede una prova scritta della durata di un'ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso. |
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La prova scritta si intende superata se la votazione è maggiore o uguale a 18/30. La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente. Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale. Resta inteso che qualunque esito è possibile nel momento in cui lo studente decida di presentarsi anche alla prova orale. | |
| Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file (aggiornato a dicembre 2020, valido anche per il 2021-22). |
La prima parte del corso verrà tenuta dalla Prof. Marini.
| Lun 15.11.2021 |
Problema modello per l'equazione differenziale \(-u''=f\) su \((0,L)\) con condizioni di Dirichlet \(u(0)=u(L)=0\). Problema modello come caso semplificato in diverse applicazioni: barra elastica in trazione, diffusione di calore, diffusione di una sostanza, elettrostatica. Approssimazione delle derivate di una funzione con differenze finite. Rapporto incrementale destro e sinistro. Stima dell'errore attraverso l'espansione di Taylor, errore lineare. Interpretazione geometrica delle differenze finite come coefficienti angolari di rette secanti. |
| Mar 16.11.2021 |
Rapporto incrementale centrale, errore quadratico. Approssimazione della derivata seconda: rapporto incrementale secondo, errore quadratico. Metodo delle differenze finite per il problema modello. Forme matriciali del metodo delle differenze finite. La matrice delle differenze finite è invertibile e definita positiva. Esempio di codice Matlab per il metodo delle differenze finite (DF101.m), convergenza quadratica. |
| Lun 22.11.2021 |
Errore di consistenza (troncamento) per il metodo delle differenze finite. Richiamo sulle norme vettoriali e matriciali. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. Stabilità del metodo, dipendenza continua dai dati. Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Metodo di Galerkin per un problema variazionale. Buona posizione del metodo attraverso Lax-Milgram. Spazio dei polinomi a tratti. Funzioni di base (a tenda) per lo spazio delle lineari a tratti. |
| Mar 23.11.2021 |
Metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Riduzione del metodo di Galerkin a un sistema lineare. Forma matriciale del metodo degli elementi finiti lineari, calcolo di matrice e termine noto, quadratura. Buona posizione del metodo attraverso Lax-Milgram. Errore di consistenza e ortogonalità di Galerkin. Stime di ottimalità (e quasi-ottimalità per il problema astratto). |
| Lun 29.11.2021 |
Metodo degli elementi finiti per il problema modello 1D: stime di interpolazione e di convergenza.
Come cambiano le matrici dei metodi delle differenze finite e degli elementi finiti per un problema di diffusione e reazione (\(-u''+qu=f\)). Metodo delle differenze finite per un problema al bordo di Dirichlet in 2 dimensioni su un quadrato (solo cenni). |
| Mar 30.11.2021 |
Elementi finiti per il problema di Poisson \(-\Delta u=f\) su un poligono \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), con condizioni di Dirichlet \(u=0\) su \(\partial\Omega\).
Forma variazionale del problema, metodo di Galerkin, triangolazione e spazio dei polinomi a tratti. Lemma di Lax-Milgram per due scelte della norma \(V\), buona posizione e stabilità del metodo di Galerkin, ortogonalità di Galerkin, lemma di Céa, costanti di quasi-ottimalità. Cenni alle stime di approssimazione. Elementi finiti lineari. Le funzioni lineari a tratti sono determinate dai valori nei nodi. Funzioni di base a tenda. |
| Lun 6.12.2021 |
Elementi finiti lineari 2D, sparsità della matrice di stiffness. Assemblaggio della matrice di stiffness. Calcolo della matrice locale. Formule di quadratura sui triangoli, calcolo del vettore termine noto locale con le diverse formule di quadratura. Struttura dati (vettori x, y e matrice NOD) per il metodo degli elementi finiti. |
| Mar 7.12.2021 |
Elementi finiti lineari in 2D: assemblaggio della matrice di stiffness globale; esempio. Imposizione delle condizioni al bordo. Esempio di un semplice codice agli elementi finiti in Matlab, alcune simulazioni. Problema di Neumann con termine di reazione. Calcolo della matrice di massa. |
| Lun 13.12.2021 |
Diffusione di una sostanza: equazioni di continuità, legge di Fick, equazione del calore. Problemi parabolici: equazione del calore su un intervallo spaziale con condizioni di Dirichlet omogenee. Separazione delle variabili: soluzione del problema con dato iniziale sinusoidale; soluzione con dato iniziale generale. Stima dell'energia, stabilità, unicità. Problema parabolico in due dimensioni spaziali, Laplaciano e condizioni di Dirichlet, forma variazionale. |
| Mar 14.12.2021 |
Problema ai valori iniziali per l'equazione del calore con condizioni di Dirichlet: ripasso della forma forte e della formulazione variazionale, in 1 e 2 dimensioni spaziali. Semi-discretizzazione con il metodo di Galerkin: elementi finiti lineari in spazio. Ripasso: calcolo esplicito della matrice di massa per gli elementi finiti in una dimensione. Sistema di equazioni differenziali ordinarie \(\mathbf{M}\partial_t\vec U+\mathbf{A}\vec U=\vec F\). Differenze finite in tempo: Eulero esplicito ed implicito. |
| Lun 10.1.2022 | Domande da parte degli studenti |
| Mar 11.1.2022 | Domande da parte degli studenti |