| Docente: | Andrea Moiola |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | http://matematica.unipv.it/moiola/MN2018/MN2018.html |
| Pagina ufficiale: | http://matematica.unipv.it/it/corsi/2018/23708 |
| http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?&idAttivitaFormativa=223611 | |
| Lezioni: | Lunedì 14-16, Laboratorio Informatico |
| Mercoledì 14-17, E10 | |
| Semestre: | Autunno 2018 |
| Ricevimento: | Martedì ore 10-11 (possibilmente accordandosi per email), oppure al termine delle lezioni. |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 56, inclusi i laboratori |
| Codice corso: | 502234 |
| Esame: | Scritto + orale + relazione Matlab. |
| La relazione deve essere lunga al massimo 4 pagine ed essere inviata per email in pdf al massimo 24 ore prima dello scritto. | |
| Gli studenti iscritti al corso negli anni precedenti sono pregati di contattare il docente al più presto. | |
| Appelli: | Martedì 12 febbraio 2019, ore 10:00, aula E10. |
| Martedì 26 febbraio 2019, ore 10:00, aula E10. | |
| Martedì 2 luglio 2019, ore 10:00, aula E9. | |
| Martedì 23 luglio 2019, ore 10:00, aula E10. | |
| Mercoledì 11 settembre 2019, ore 10:00, aula E9. | |
| Martedì 24 settembre 2019, ore 10:00, aula E9. | |
| Gli orali si terranno nei giorni immediatamente successivi. |
V. Comincioli, Analisi Numerica. Metodi, Modelli, Applicazioni, McGraw-Hill, 1995.
A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 2a edizione, 2009.
R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM 2007.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, Springer, 4a edizione, 2014. Capitoli 11-12.
E. Süli, An introduction to the Numerical Analysis of Partial Differential Equations, 2005, dispense disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/suli/nspde.ps.
E. Süli, D.F. Mayers, An introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Capitoli 13-14.
L.N. Trefethen, A. Birkisson, T.A. Driscoll, Exploring ODEs, SIAM, 2018. Pdf e files Matlab disponibili su http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/ExplODE/
A. Tveito, R. Winther, Introduction to Partial Differential Equations. A Computational Approach, Springer 2005.
| Lun 1.10.2018 | 2h | E10 |
Introduzione al corso.
Problemi ai valori iniziali e problemi ai limiti per equazioni alle derivate ordinarie. Esempio di problema ai limiti lineare ben posto e mal posto a seconda delle condizioni al bordo. Metodo di shooting. Il metodo di shooting combinato con il metodo di bisezione. Il caso dei problemi al bordo lineari. Il metodo di shooting combinato con il metodo di Newton. |
1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 |
| Mer 3.10.2018 | 3h | E10 |
Breve derivazione informale delle equazioni di continuità, di Fick, del calore, di Poisson, Laplace, e più generali equazioni di diffusione-trasporto-reazione lineari paraboliche ed ellittiche.
Problemi al bordo lineari in una dimensione. Dimostrazione dell'unicità della soluzione del problema omogeneo con il metodo dell'energia. Principio del massimo (prima versione). |
2 2.1 2.1.1 |
| Lun 8.10.2018 | 2h | Lab.Inf. | Esercizio 1.2: uso di ode45 in Matlab. Esercizi 1.3, 1.6, 1.7: implementazione del metodo di shooting con bisezione e Newton. |
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| Mer 10.10.2018 | 3h | E10 |
Principio del massimo ed unicità della soluzione del problema di Dirichlet omogeneo. Esistenza ed unicità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo. La funzione di Green e la dipendenza continua dai dati. Altre condizioni al bordo: di Neumann, di Robin e periodiche. Differenziazione numerica. Differenze finite in avanti, all'indietro e centrate per l'approssimazione di f'(x). Gli errori di troncamento. Differenze finite centrate per la derivata seconda. Interpretazione geometrica e attraverso l'interpolazione polinomiale. L'errore di arrotondamento: cancellazione, crescita dell'errore quando il passo h è molto piccolo. Derivazione euristica del valore ottimale di h. Differenziazione numerica senza errore di arrotondamento: complex-step differentiation. |
2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 3 3.1 |
| Lun 15.10.2018 | 2h | Lab.Inf. | Esercizi 3.5, 3.6, 3.7: errore relativo delle differenze finite in avanti, centrate, del quarto ordine, complex-step. Stima dell'ordine di convergenza con polyfit. Errore di troncamento e di roundoff. | |
| Mer 17.10.2018 | 3h | E10 |
Il metodo delle differenze finite in una dimensione. Derivazione del metodo per un problema di diffusione-reazione di Dirichlet. Uso della funzione Matlab spdiags. Invertibilità della matrice delle differenze finite. Principio del massimo discreto. Matrici monotone e loro proprietà. Stabilità e convergenza. Ripasso delle norme vettoriali e matriciali. Studio dell'errore di troncamento. Studio della stabilità: stima della norma dell'inversa della matrice del metodo delle differenze finite. Stima di convergenza del metodo. Commento sulla convergenza in norme diverse da quella infinito. | 4.1 4.2 |
| Lun 22.10.2018 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizi 4.1, 4.10 e 4.13: implementazione del metodo delle differenze finite per un problema di Dirichlet. Calcolo dell'errore in dipendenza da h, stima dell'ordine di convergenza in diverse norme vettoriali. Funzione di Green discreta. |
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| Mer 24.10.2018 | 3h | E10 |
Discretizzazione del problema di Neumann. Metodo delle differenze finite: approssimazione delle condizioni al bordo con differenze finite in avanti/indietro e con differenze finite centrate. Matrici a predominanza diagonale e a predominanza diagonale stretta. Teorema dei cerchi di Gershgorin. Per q positivo, la matrice del metodo delle differenze finite è invertibile, simmetrica e definita positiva. Stima di stabilità. Commenti su altre condizioni al bordo. Implementazione efficiente del metodo delle differenze finite. Decomposizione LU di una matrice tridiagonale e soluzione efficiente del sistema lineare corrispondente. Il caso delle condizioni al bordo periodiche: risoluzione di un sistema lineare perturbazione di rango uno di un sistema tridiagonale. Problemi di diffusione e trasporto. Modello minimo di problema di diffusione e trasporto. Caso limite di diffusione dominante (perturbazione regolare). |
4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.5 4.5.1 |
| Lun 29.10.2018 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 4.14: implementazione di due metodi alle differenze finite per il problema di Neumann, confronto degli ordini di convergenza.
Esercizio 4.23: funzione x=tridiag(a,b,c,y) per la risoluzione efficiente di un sistema tridiagonale, test del codice, confronto dei tempi computazionali contro backslash e spdiags. Uso di questo codice per risolvere sistemi di differenze finite. (Esercizio 4.27: risoluzione efficiente della perturbazione di rango 1 di un sistema tridiagonale. Applicazione al metodo delle differenze finite per problemi periodici.) |
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| Mer 31.10.2018 | 3h | E10 |
Problemi di diffusione e trasporto. Modello minimo di problema di diffusione e trasporto. Due casi limite: diffusione dominante (perturbazione regolare) e trasporto dominante (perturbazione singolare). Discretizzazione di problemi di diffusione e trasporto. Oscillazioni spurie del metodo delle differenze finite centrate. Il metodo upwind; viscosità numerica. Autovalori e autofunzioni di -u''=cu con condizioni di Dirichlet. Approssimazione con il metodo delle differenze finite, stima dell'errore. Problemi di Sturm-Liouville: proprietà dell'operatore differenziale, degli autovalori e delle autofunzioni. |
4.5.2 4.5.3 4.6 4.6.1 |
| Lun 5.11.2018 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 4.29: metodo delle differenze finite centrate per il problema modello di diffusione-trasporto. Esercizio 4.33: confronto metodo upwind e differenze centrate. Esercizio 4.35: autovalori e autofunzioni di -u''=cu. Esercizio 4.42: autovalori e autofunzioni di -u''+qu=cu con potenziali q a singolo e doppio pozzo. |
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| Mer 7.11.2018 | 3h | E10 |
Differenze finite per problemi non lineari. Il metodo delle differenze finite combinato con il metodo di Newton per l'equazione del pendolo. Introduzione generale al metodo di collocazione per il problema di Dirichlet. Il metodo di collocazione spettrale polinomiale, i polinomi di Legendre integrati. |
4.7 5.1 5.2 |
| Lun 12.11.2018 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizio 4.44: differenze finite per un problema al bordo per l'equazione (non lineare) del pendolo. Esercizio 4.46: differenze finite per un'altro problema al bordo non-lineare, con nonlinearità dipendente dalla derivata prima di u. |
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| Mer 14.11.2018 | 3h | E10 |
Lezione su uncertainty quantification, tenuta da Lorenzo Tamellini (IMATI-CNR). Metodi numerici per problemi differenziali stocastici: Monte Carlo, quadratura Gaussiana e sparse grids. Appunti sulla lezione disponibili a questo link. |
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| Lun 19.11.2018 | 2h | Lab.Inf. | Completamento degli esercizi iniziati nelle scorse settimane. | |
| Mer 21.11.2018 | 3h | E10 |
Il metodo di collocazione spettrale trigonometrico: la base di funzioni trigonometriche e quella di esponenziali complessi; un esempio con convergenza esponenziale ed un esempio con convergenza algebrica.
Implementazione del metodo di collocazione spettrale trigonometrico, valutazione della soluzione e calcolo della norma L2 dell'errore. La trasformata di Fourier discreta (DFT). Uso della DFT per risolvere il sistema lineare del metodo di collocazione con un prodotto matrice-vettore. La trasformata di Fourier veloce (FFT): l'algoritmo di Cooley e Tuckey. La FFT per calcolare il prodotto tra una matrice circolante ed un vettore. |
5.3 5.3.1 5.3.2 |
| Lun 26.11.2018 | 2h | Lab.Inf. |
Esercizi 5.9 e 5.10: il metodo di collocazione spettrale per due problemi al bordo periodici; errore in norma L2 e L∞; plot della convergenza.
(Ricostruzione delle figure 19 e 20: tempi di calcolo per il metodo di collocazione trigonometrica e per la DFT calcolati con diverse tecniche.) (Esercizi 5.17 e 5.18: matrici circolanti e FFT.) |
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| Mer 28.11.2018 | 3h | E10 |
Motivazioni per estendere la formulazione di un problema al bordo al caso con soluzioni che non sono di classe C2. Definizione degli spazi di Sobolev H1(a,b),H2(a,b),H10(a,b) e delle norme corrispondenti. Formulazione debole di un problema al bordo. Unicità della soluzione debole. Le soluzioni classiche sono anche soluzioni deboli. Principio di Ritz: il problema debole è equivalente ad un problema di minimo. Formulazione di un problema variazionale astratto. Proprietà di continuità e coercività, Teorema di Lax-Milgram. Dipendenza continua dai dati per la soluzione del problema astratto. Principio di Ritz astratto per problemi variazionali simmetrici. Verifica delle ipotesi del Teorema di Lax-Milgram per la forma debole del problema al bordo. Disuguaglianza di Poincaré-Friedrichs per un intervallo. Esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati della soluzione del problema debole. Esempio di soluzione del problema debole che non è soluzione classica; esempio di soluzione di un problema variazionale che non può essere scritto come problema debole con f in L2(a,b). Il metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto. |
6.1 6.2 6.3 6.3.1 6.4 |
| Lun 3.12.2018 | 2h | E10 |
Riassunto della lezione precedente: relazione tra problemi al bordo classici, deboli e variazionali astratti; metodo di Galerkin. Proprietà del metodo di Galerkin per un problema variazionale astratto: buona posizione, stabilità, ortogonalità, quasi-ottimalità (Lemma di Céa). Il metodo di Galerkin per un problema al bordo. Estensione alle condizioni al bordo non omogenee, al problema di Neumann ed al problema con un termine di trasporto. Breve accenno al metodo spettrale polinomiale. Confronto con il metodo di collocazione spettrale. Il metodo degli elementi finiti. Spazi di funzioni continue polinomiali a tratti. Elementi finiti lineari: funzioni di base a tenda, costruzione della matrice. |
6.4.1 6.4.2 6.5 6.6 6.6.1 |
| Mer 5.12.2018 | 3h | E10 |
Come calcolare numericamente le norme L2(a,b) e H1(a,b) dell'errore del metodo degli elementi finiti (lineari).
Elementi finiti quadratici: spazio discreto, funzioni di base nodali e a bolla, matrice pentadiagonale. Proprietà di approssimazione dell'interpolazione lineare a tratti. Stima di approssimazione e di convergenza per il metodo degli elementi finiti lineari. Equazione del calore. Rappresentazione della soluzione del problema ai valori iniziali sull'intera retta reale mediante la convoluzione con la soluzione fondamentale. Proprietà della soluzione: decadimento in tempo, diversa velocità di decadimento delle diverse frequenze, regolarità, velocità di propagazione infinita. Problema ai valori iniziali con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee: metodo di Fourier della separazione delle variabili. |
6.6.2 6.6.3 7.1 7.2 |
| Lun 10.12.2018 | 2h | Lab.Inf. | Esercizi 6.24-6.25: elementi finiti lineari. | |
| Mer 12.12.2018 | 2h | E10 |
Problema ai valori iniziali per l'equazione del calore:
decadimento dell'energia, stabilità, unicità della soluzione.
Semidiscretizzazione con differenze finite in spazio del problema ai valori iniziali con condizioni di Dirichlet per l'equazione del calore. Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Espressione in componenti e forma vettoriale. Errore di troncamento. Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. Un esperimento numerico "virtuale": il metodo di Eulero implicito e quello di Crank-Nicolson sono sempre stabili, quello esplicito solo per numero di Courant minore o uguale a 1/2. |
7.3 7.3.1 |
| Lun 17.12.2018 | 2h | Lab.Inf. |
Completamento degli esercizi sul metodo degli elementi finiti. Esercizi 7.2 e 7.3: rappresentazione delle soluzioni dei problemi ai valori iniziali per l'equazione del calore attraverso la convoluzione con la soluzione fondamentale e con serie di Fourier. Esercizio 7.9: theta-metodo per l'equazione del calore. |
