CORSO DI ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

Anno Accademico 2012-2013
 
Registro delle lezioni

Lunedi'  4/3/2013 11-13
Definizione di varieta' differenziabile, esempi: sfera, spazio proiettivo reale e complesso. Applicazioni differenziabili tra varieta'. La retta proiettiva reale e'  diffeomorfa a S^1, la retta proiettiva complessa e'  diffeomorfa a S^2.

Martedi' 5/3/2013 9-11
Definizione di sottovarieta' differenziabile di una varieta', esempi. Definizione geometrica dello spazio tangente T_pM ad una varieta' M di dimensione n in un punto (con le curve). T_pM e' uno spazio vettoriale reale di dimensione n.
Differenziale di un'applicazione differenziabile tra due varieta' e sue proprieta'. Derivazioni.

Venerdi' 8/3/2013 11-13
Definizione algebrica dello spazio tangente T_pM ad una varieta' M di dimensione n in un punto: derivazioni. Struttura di spazio vettoriale sullo spazio tangente e isomorfismo con lo spazio tangente definito con le curve.
Definizione del differenziale di un'applicazione differenziabile tra due varieta' definito con le derivazioni e sua equivalenza con la definizione data con le curve. Fibrato tangente ad M. Il fibrato tangente e' una varieta' differenziabile di dimensione n.

Lunedi' 11/3/2013 11-13
Teorema della funzione inversa (solo enunciato). Il teorema della funzione inversa implica il teorema del rango in versione iniettiva e suriettiva e il teorema della funzione implicita. Il teorema della funzione implicita implica il teorema della funzione inversa. Immersioni e sottovarieta'.

Martedi' 12/3/2013 9-11
Immersioni ed embeddings. Un'immersione propria e iniettiva e' un embedding. Summersioni, punti critici, valori critici. Esempi ed esercizi. Controimmagine di un valore regolare e' una sottovarieta'.

Lunedi' 18/3/2013 11-13
Trasversalita' di una sottovarieta' rispetto ad un'applicazione differenziabile. Teorema di Sard (solo enunciato). Fibrazioni localmente banali e fibrati vettoriali. Esempi: il fibrato tangente e cotangente. Sezioni di fibrati. Esempi. Fibrazione di Hopf.

Martedi' 19/3/2013 9-11
Costruzioni con i fibrati: restrizione, somma di Whitney. Omomorfismi di fibrati, quoziente e nucleo. Esempi. Il fibrato normale di una sottovarieta' in una varieta'. Esempi. Il fibrato tautologico di P^n.

Venerdi' 22/3/2013 11-13
Il fibrato tautologico di P^n non e' banale. Pull-back di un fibrato tramite un' applicazione differenziabile.  Ricoprimenti localmente finiti. I cocicli dei fibrati vettoriali determinano il fibrato. Prodotto tensoriale di fibrati. 

Lunedi' 25/3/2013 11-13
Prodotto esterno di un fibrato. Fibrato duale. Partizione dell'unita'. Campi vettoriali. Bracket di due campi vettoriali. Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie. Campi vettoriali dipendenti dal tempo. Flusso di campi vettoriali.

Martedi' 26/3/2013 9-11
Flusso di campi vettoriali. Gruppi ad un parametro diffeomorfismi. Distribuzioni. Sottovarieta' integrali. Distribuzioni involutive e localmente integrabili. Teorema di Frobenius.

Venerdi' 5/4/2013 11-13
Dimostrazione del teorema di Frobenius. Definizione di connessione lineare.

Lunedi' 8/4/2013 11-13
Connessioni lineari. Campi di vettori lungo un'applicazione differenziabile. Campi di vettori lungo una curva. Estensione a questi campi di una connessione lineare. Campi paralleli lungo una curva. Trasporto parallelo.

Martedi' 9/4/2013 9-11
Curvatura di una connessione lineare. Proprieta'  della curvatura. Tensori di tipo (s,r). La curvatura e'  un tensore di tipo (1,3). Torsione di una connessione lineare. La torsione e'  un tensore di tipo (1,2). Cenni di algebra multilineare.

Venerdi' 12/4/2013 11-13
Algebra multilineare. Algebra esterna. Potenza esterna p-esima del fibrato cotangente di una varieta' differenziabile, calcolo esplicito del cociclo. p-forme differenziali su una varieta' differenziabile. Prodotto esterno di forme differenziali. Pull-back di forme tramite un'applicazione differenziabile.

Lunedi' 15/4/2013 11-13
Differenziale esterno di de Rham delle forme. Dimostrazione del teorema di esistenza e unicita' del differenziale esterno e sue proprieta'. Il differenziale esterno commuta con il pull-back.

Venerdi' 19/4/2013 11-13
Proprieta'  del pull-back di forme. Esempi. Derivata di Lie di una forma rispetto ad un campo di vettori. Proprieta' della derivata di Lie. Formula di Cartan.

Lunedi' 22/4/2013 11-13
Atlanti orientabili e orientabilita' di  varieta' differenziabili. Una varieta'  M di dimensione n e'  orientabile se e solo se esiste una n forma mai nulla su M (detta forma di volume).  Esempi: S^n e'  orientabile, lo spazio proiettivo reale di dimensione n e' orientabile se e solo se n e' dispari.

Martedi' 23/4/2013 9-11
Integrazione di forme differenziali a supporto compatto su una varieta'. Varieta'  con bordo, definizione ed esempi. Orientazione di varieta'  con bordo e del bordo. Teorema di Stokes.

Lunedi' 29/4/2013 9-12
Conseguenze del teorema di Stokes. Teorema del punto fisso di Brouwer differenziabile. Formula di Green nel piano. Coomologia di de Rham. p-simplessi singolari, p-catene singolari, omologia singolare. Definizione e qualche proprieta'. p-simplessi differenziabili e p-catene singolari differenziabili. Teorema di Stokes per catene singolari differenziabili (enunciato). Omomorfismo di de Rham e enunciato del teorema di de Rham. Dimostrazione del lemma di Poincare'.  

Martedi' 30/4/2013 9-11
Calcolo della coomologia di de Rham della circonferenza. Complessi di cocatene, successioni esatte di complessi. Data una successione esatta di complessi di cocatene, esiste una successione esatta lunga in coomologia.

Venerdi' 3/5/2013 11-13
Omotopie differenziabili tra applicazioni differenziabili tra varieta'. Due applicazioni differenziabili differenziabilmente omotope inducono le stesse mappe in coomologia di de Rham. Successione esatta di Mayer-Vietoris in coomologia di de Rham.

Lunedi' 6/5/2013 11-13
Coomologia di de Rham delle sfere e del toro. Varieta' riemanniane: definizione ed esempi. Ogni varieta' differenziabile (a base numerabile) ammette una metrica riemanniana. Metrica indotta su una sottovarieta'.

Martedi' 7/5/2013 9-11
Connessione di Levi Civita: esistenza e unicita'. Calcolo dei simboli di Christoffel. Il trasporto parallelo con la connessione di Levi Civita e' un'isometria. Connessione di Levi Civita indotta su una sottovarieta' di una varieta' riemanniana rispetto alla metrica indotta. Seconda forma fondamentale.

Venerdi' 10/5/2013 11-13
Tensore di Riemann di una varieta' riemanniana, quadritensore di Riemann e loro simmetrie: identita' di Bianchi e altre simmetrie. Tensori associati: curvatura sezionale, curvatura di Ricci, curvatura scalare. Equazione di Gauss. Per una superficie in R^3 la curvatura sezionale e' la curvatura Gaussiana. Esempio: curvatura sezionale di S^2.

Lunedi' 13/5/2013 9-12
Curve C^1  a tratti su una varieta' riemanniana e loro lunghezza. Geodetiche e variazione prima. Le geodetiche sono i punti critici del funzionale lunghezza. Equazione differenziale delle geodetiche. Lemma di omogeneita'. Mappa esponenziale.
Esempi: geodetiche sulla sfera, geodetiche sul semipiano di Poincare'.    

Martedi' 14/5/2013 9-11
Geodetiche sul semipiano di Poincare'. La mappa esponenziale e'  un diffeomorfismo locale. In una varieta' Riemanniana ogni punto ha un intorno W che e' un intorno normale di ogni suo punto.

Venerdi' 17/5/2013 11-13
Lemma di Gauss. I raggi geodetici minimizzano localmente la lunghezza delle curve. Distanza geodetica. Se una curva differenziabile a tratti che congiunge due punti parametrizzata per un multiplo della lunghezza d'arco e'  di lunghezza minima, e'  una geodetica.

Giovedi' 23/5/2013 9-11
Convessita'  geodetica. Teorema di Whitehead. Definizione di completezza geodetica. Enunciato del teorema di Hopf-Rinow e qualche conseguenza: una varieta' Riemanniana connessa e compatta e' geodeticamente completa. Una sottovarieta'  chiusa e connessa di una varieta' geodeticamente completa e' geodeticamente completa (con la metrica indotta). 

Venerdi' 24/5/2013 11-13
Dimostrazione del teorema di Hopf-Rinow. Varieta' Riemanniane estendibili. Una varieta' Riemanniana completa non e'  estendibile. Esempi.

Lunedi' 27/5/2013 9-12
Esercizi di geometria Riemanniana su isometrie, completezza, curvatura sezionale.
Definizione di funzioni olomorfe in piu'  variabili e di varieta'  complesse di dimensione n. Esempi: la sfera di Riemann, gli spazi proiettivi complessi, tori complessi.

Martedi' 28/5/2013 9-11
Applicazioni olomorfe tra varieta' complesse. La sfera di Riemann e'  biolomorfa alla retta proiettiva complessa. Equazioni di Cauchy Riemann. Enunciati dei teoremi della funzione inversa e implicita olomorfi. Struttura di superficie di Riemann su una curva algebrica piana liscia affine e proiettiva.

Venerdi' 31/5/2013 11-13
Applicazioni olomorfe tra tori complessi. Biolomorfismi tra tori complessi di dimensione n. Spazio dei moduli che parametrizza le strutture complesse su un toro a meno di isomorfismi. Il caso n=1 delle curve ellittiche. Azioni di gruppi di Lie complessi su varieta'  complesse. Azioni libere e proprie. Esempi di varieta' complesse costruite come quozienti di una varieta' complessa per un'azione libera e propria di un gruppo di Lie complesso. Varieta' di Hopf.

Lunedi'  3/6/2013 9-12
Varieta' di Iwasawa. Funzioni meromorfe su superfici di Riemann. Applicazioni olomorfe fra superfici di Riemann. Forma normale locale e grado di un'applicazione olomorfa fra due superfici di Riemann compatte. Formula di Riemann Hurwitz.Esercizi.


Esercitazioni tenute da Francesco Genovese.

Venerdi' 15/03/2013, 11-13.
Grassmanniane reali Gr(k,n): definizione come insieme dei sottospazi k-dimensionali di R^n e come spazio delle matrici n x k modulo l'opportuna azione di GL(k). Struttura differenziabile, con scrittura esplicita delle carte locali. Caratterizzazione intrinseca dello spazio tangente ad un punto W di Gr(k,n): T_W(Gr(k,n)) e' naturalmente isomorfo a Hom(W, R^n/W). Compattezza di Gr(k,n) (solo un cenno).

Martedi' 16/04/2013, 9-11.
Esempi: alcuni spazi e gruppi di matrici con la loro struttura di varieta'. Gruppi GL(n), SL(n), O(n), SO(n) come sottovarieta' dello spazio M(n,n) delle matrici n x n. Gruppi di Lie, definizione ed esempi: (R^n, +), (R*, *), (C*,*), T^n = (S^1)^n, i gruppi di matrici con il prodotto di matrici. Azioni di gruppi di Lie su varieta', con vari esempi: traslazione e coniugio quali azioni di un gruppo di Lie su se stesso, azioni di gruppi di matrici sui vettori, azione antipodale su S^n. Spazi di orbite. Condizioni affinche' uno spazio di orbite sia una varieta': azioni libere e proprie (cenni).

Lunedi' 06/05/2013, 9-11.
Revisione della nozione di orientabilita'. Se una varieta' di dimensione almeno 2 ha un atlante fatto da sole due carte con intersezione connessa, allora a' orientabile. Una varieta' parallelizzabile e' orientabile. Esempio: la forma di volume
-y dx + x dy su S^1. Integrali su varieta' fatti parametrizzando il dominio: alcuni esercizi. Revisione del teorema di Stokes, con qualche applicazione al calcolo degli integrali. Una n-forma su una n-varieta' compatta, connessa e orientabile e' esatta se e solo se il suo integrale e' nullo (solo enunciato).

Lunedi'  20/05/2013, 9-11.
Revisione della successione esatta di Mayer-Vietoris. Coomologia del toro T^2. Scrittura esplicita del morfismo di connessione della successione di Mayer-Vietoris. Se M e' una n-varieta' connessa, compatta, orientabile, allora la coomologia di M meno un punto si annulla in dimensione n: dimostrazione nel solo caso n=2. Coomologia del toro meno un punto. Coomologia degli spazi proiettivi complessi.

Martedi'  04/06/2013, 9-11.
Rivestimenti lisci, definizione ed esempi: R^n sul n-toro T^n; S^n sul proiettivo reale P^n(R). Definizione di rivestimento nel quadro topologico. Enunciato del teorema di sollevamento di mappe e un'applicazione: non esistono mappe lisce S^2 --> S^1 senza punti critici. Morfismi di rivestimenti. Un rivestimento e' un fibrato localmente banale a fibra discreta, la cardinalita' della fibra e' localmente costante (dimostrazione a grandi linee). Azione del gruppo di automorfismi di un rivestimento sullo spazio totale e sulle fibre. Esercizi: due risultati sul pullback di una mappa di rivestimento, a livello di forme differenziali e di coomologia di De Rham.

Appunti delle esercitazioni di Francesco Genovese (sono manoscritti e possono contenere imprecisioni e lievi differenze rispetto a quello che e'  stato materialmente svolto).

Esercitazione 15-03
Esercitazione 16-04
Esercitazione 06-05
Esercitazione 20-05
Esercitazione 04-06