Complementi di geometria - anno 2016-17
- Orario del corso
- Descrizione:
Il corso è una introduzione alla omotopia e alla omologia
- Programma di massima del corso:
Il gruppo fondamentale. Gruppi liberi. Teoremi di Van Kampen. Altri metodi di calcolo del gruppo fondamentale. Rivestimenti. Gruppo fondamentale e rivestimenti. Gruppi di omotopia superiori, applicazioni tra sfere, grado, teorema della curva di Jordan, teorema di invarianza del dominio. Triangolazione, caratteristica di Eulero-Poincaré, orientazione, classificazione delle superfici. Prime nozioni di algebra omologica. Omologia singolare e sue proprietà omotopiche, omologia relativa, teoria assiomatica dell'omologia, formula di Künneth. Altri tipi di omologia.
Complessi simpliciali, CW-complessi. Coomologia e dualità di Poincaré.
- testi:
- A. Hatcher: "Algebraic Topology", Cambridge University Press (anche disponibile liberamente online qui).
- M. Greenberg, J. Harper: "Algebraic Topology".
- W. Massey: "A Basic Course in Algebraic Topology", Springer-Verlag.
- E. Spanier: "Algebraic Topology".
- altri testi suggeriti:
- M. Greenberg: "Lectures on Algebraic Topology".
- C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica".
- M. Massey: "Algebraic Topology, an Introduction".
- M. Manetti, "Topologia", seconda edizione, Springer, Milano 2014
- E. Sernesi: "Geometria 2".
- P. Hilton: "Introduction to Homotopy Theory".
- S. Hu: "Homotopy Theory".
- J. Milnor, Spivak: "Morse Theory".
- W. Massey: "Singular Homology Theory".
- S. Hu: "Homology Theory".
- C. Maunder: "Algebraic Topology".
- G. Bredon: "Topology and geometry".
Diario del corso:
1 (3/10/2016): Introduzione al corso. Omotopie e omotopie relative; composizioni di omotopie. Cammini. Omotopia con estremi fissi di cammini. Riparametrizzazione di cammini. Composizione di cammini; associatività della medesima a meno di omotopia con estremi fissi.
2 (4/10/2016): Il gruppoide fondamentale; associatività, elementi neutri, inversi. Il gruppo fondamentale; omomorfismo indotto. Il gruppo fondamentale di un prodotto. Dipendenza del gruppo fondamentale dal punto base. Omomorfismi indotti da mappe tra loro omotope.
3 (7/10/2016): Gruppo abeliano libero su un insieme. Proprietà universale. Basi nei gruppi abeliani. Sottogruppi di un gruppo abeliano libero.
Ogni gruppo abeliano finitamente generato è somma diretta del sottogruppo di torsione e di un sottogruppo libero. Simplessi standard. Simplessi singolari e catene singolari in uno spazio topologico.
4 (10/10/2016): Retrazioni. Retratti di deformazione. Mapping cylinder. Equivalenza omotopica.
5 (11/10/2016): Spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi; esempi. Spazi contraibili. Spazi semplicemente connessi. Rivestimenti. Rivestimenti e sollevamenti di mappe; unicità del sollevamento. Teorema di sollevamento delle omotopie.
6 (14/10/2016): Facce di un simplesso. Operatore di bordo. Complesso delle catene singolari in uno spazio topologico.
7 (17/10/2016): Grado di un cammino chiuso nel cerchio; gruppo fondamentale del cerchio. Prodotto libero di una famiglia di gruppi. Parole, parole ridotte, prodotto di parole ridotte, elemento neutro e inverso, associatività del prodotto.
8 (18/10/2016): Omologia singolare. La categoria dei complessi di gruppi abeliani. L'omologia come funtore dalla categoria dei complessi di gruppi abeliani nella categoria dei gruppi abeliani. Il funtore delle catene singolari. L'omologia singolare come composizione di due funtori. Omologia del punto.
9 (21/10/2016): Omologia e componenti connesse per archi. Teorema di invarianza omotopica (prima parte).
10 (24/10/2016): Associatività del prodotto in un prodotto libero di gruppi (fine). Proprietà universale del prodotto libero. Teorema di Seifert-van Kampen: enunciato. Gruppo fondamentale delle sfere.
11 (25/10/2016): Associatività del prodotto libero di gruppi. Esempi di calcolo di gruppi fondamentali tramite il teorema di van Kampen: bouquet di cerchi, piano meno un numero finito di punti, complementare di un cerchio nello spazio, di due o più cerchi non concatenati nello spazio.
12 (28/10/2016): Fine della dimostrazione del teorema di invarianza omotopica. Successioni esatte.
13 (4/11/2016): Successioni esatte che si spezzano. Successioni esatte di complessi. Successione esatta lunga in omologia. Complesso aumentato. Omologia ridotta.
14 (7/11/2016): Dimostrazione della suriettività dell'omomorfismo di van Kampen. Corrispondenza biunivoca tra fibre di un rivestimento di uno spazio connesso per archi.
15 (8/11/2016): Il gruppo fondamentale \(H\) di un rivestimento come sottogruppo del gruppo fondamentale \(G\) dello spazio rivestito; criterio perché la classe di un cammino chiuso sia in questo sottogruppo. La fibra sopra un punto è in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle classi laterali di \(H\) in \(G\). Spazi puntati e applicazioni continue tra i medesimi. Rivestimenti puntati. Isomorfismi di rivestimenti, puntati e non. Identificazione degli automorfismi di un rivestimento con un sottogruppo di \(N(H)/H\), dove \(H\) è il gruppo fondamentale dello spazio rivestente e \(N(H)\) il normalizzante di \(H\) nel gruppo fondamentale dello spazio rivestito.
16 (11/11/2016): Prima parte della dimostrazione del teorema sulle catene piccole.
17 (14/11/2016): Seconda parte della dimostrazione del teorema sulle catene piccole.
18 (15/11/2016): Spazi localmente connessi per archi. Teorema di sollevamento delle applicazioni continue. Due rivestimenti di uno spazio \((X,x_0)\) tali che le immagini in \(\pi_1(X,x_0)\) dei loro gruppi fondamentali siano uguali sono isomorfi tra loro. Identificazione degli automorfismi di un rivestimento connesso per archi e localmente connesso per archi con \(N(H)/H\), dove \(H\) è il gruppo fondamentale dello spazio rivestente e \(N(H)\) il normalizzante di \(H\) nel gruppo fondamentale dello spazio rivestito. Condizione necessaria perché uno spazio ammetta un rivestimento universale.
19 (18/11/2016): Omologia relativa. Successione esatta lunga della coppia e della terna. Teorema di escissione. Coppie buone.
20 (21/11/2016): Corrispondenza tra rivestimenti di \(Y\) e sottogruppi del gruppo fondamentale di \(Y\): due rivestimenti sono isomorfi se e solo se i corrispondenti sottogruppi sono coniugati. Rivestimento universale. Costruzione del rivestimento universale (inizio).
21 (22/11/2016): Costruzione del rivestimento universale (fine). Il rivestimento universale è semplicemente connesso. Il gruppo libero su 2 generatori contiene come sottogruppo il gruppo libero su \(n\) generatori per ogni \(n\), e anche il gruppo libero su una infinità numerabile di generatori. Gruppo fondamentale del complementare di due cerchi concatenati in \(\mathbb R^3\).
22 (25/11/2016): Successione esatta lunga per coppie buone. Omologia delle sfere. Teorema di punto fisso di Brouwer. Invarianza della dimensione. Successione di Mayer-Vietoris.
23 (28/11/2016): Gruppo fondamentale del complementare di due cerchi concatenati in \(\mathbb R^3\) (fine). Azioni di gruppo. Azioni di gruppo propriamente discontinue e senza punti fissi. Costruzione di un rivestimento per quoziente modulo una tale azione; automorfismi del rivestimento ottenuto.
24 (29/11/2016): Rivestimenti normali e non; loro caratterizzazioni. Classificazione dei rivestimenti di uno spazio connesso per archi e localmente connesso per archi che ammette un rivestimento universale. Incollamento di uno spazio \(X\) a uno spazio \(Y\) tramite una applicazione continua \(f:A\to Y\), dove \(A\subset X\). CW-complessi. Scheletri di un CW-complesso. Dimensione di un CW-complesso. Esempi di CW-complessi: grafi, sfere, decomposizione in pantaloni di una superficie di genere 2.
25 (2/12/2016): Teorema di separazione di Jordan-Brouwer. Teorema di invarianza del dominio. Grado di applicazioni fra sfere.
26 (5/12/2016): Determinazione esplicita di un generatore dell'omologia \(n\)-dimensionale della sfera \(n\)-dimensionale.
27 (6/12/2016): Topologia dei CW-complessi. Criterio per la continuità di una mappa da un CW-complesso a un altro spazio. Sottocomplessi. I sottocomplessi sono chiusi. Ogni sottoinsieme compatto di un CW-complesso è contenuto in un sottocomplesso finito. Il gruppo fondamentale di un CW-complesso connesso è quoziente di quello dell'1-scheletro e isomorfo a quello dell'\(n\)-scheletro per ogni \(n>1\).
28 (12/12/2016): Grado dell'applicazione antipodale. Teorema di non pettinabilitą delle sfere di dimensione pari.
29 (13/12/2016): Complesso di omologia cellulare. Isomorfismo fra l'omologia cellulare e l'omologia singolare di un CW-complesso.
30 (13/12/2016): Varietà topologiche. Superfici. Superfici orientabili e non orientabili. Somma connessa di superfici. Classificazione delle superfici compatte. Bottiglia di Klein; descrizione della stessa come somma connessa di due copie del piano proiettivo reale. Le somme connesse di una superficie non orientabile con un toro o una bottiglia di Klein sono omeomorfe tra loro. Superficie orientabile di genere \(g\) come somma connessa di \(g\) tori. Superficie orientabile di genere \(g\) come quoziente di un poligono a \(4g\) lati.
31 (16/12/2016): Numeri di incidenza. Rappresentazione matriciale dell'operatore bordo in omologia cellulare. Struttura di CW-complesso sul proiettivo complesso. Gruppi di omologia del proiettivo complesso.
32 (19/12/2016): Struttura di CW complesso sullo spazio proiettivo reale. Omologia dello spazio proiettivo reale.
33 (20/12/2016): Omologia delle superfici compatte orientabili e non. Caratteristica di Eulero. Calcolo della caratteristica di Eulero per un CW-complesso finito.
34 (20/12/2016): Ancora sulla rappresentazione di una superficie orientabile di genere \(g\) come quoziente di un poligono a \(4g\) lati. Superfici compatte non orientabili come quozienti di opportuni poligoni. Caratteristica di Eulero-Poincaré di un CW-complesso; cenno sulla sua invarianza topologica. Commutatore di due elementi di un gruppo. Abelianizzato di un gruppo. Calcolo del gruppo fondamentale di una superficie compatta e del suo abelianizzato. L'abelianizzato del gruppo fondamentale è il primo gruppo di omologia (inizio).
35 (21/12/2016): L'abelianizzato del gruppo fondamentale è il primo gruppo di omologia (fine). Coppie aventi la proprietà di estensione delle omotopie e loro caratterizzazioni. Se \((X,A)\) ha la proprietà di estensione delle omotopie e \(A\) è contraibile, \(X\) è omotopicamente equivalente a \(X/A\). Le coppie (CW-complesso, sottocomplesso) hanno la proprietà di estensione delle omotopie. Applicazione: tutti i complessi 1-dimensionali connessi sono omotopicamente equivalenti a bouquets di cerchi.
