Complementi di geometria - anno 2015-16
- Descrizione:
Il corso è una introduzione alla omotopia e alla omologia
- Programma di massima del corso:
Il gruppo fondamentale. Gruppi liberi. Teoremi di Van Kampen. Altri metodi di calcolo del gruppo fondamentale. Rivestimenti. Gruppo fondamentale e rivestimenti. Gruppi di omotopia superiori, applicazioni tra sfere, grado, teorema della curva di Jordan, teorema di invarianza del dominio. Triangolazione, caratteristica di Eulero-Poincaré, orientazione, classificazione delle superfici. Prime nozioni di algebra omologica. Omologia singolare e sue proprietà omotopiche, omologia relativa, teoria assiomatica dell'omologia, formula di Künneth. Altri tipi di omologia.
Complessi simpliciali, CW-complessi. Coomologia e dualità di Poincaré.
- testi:
- A. Hatcher: "Algebraic Topology", Cambridge University Press (anche disponibile liberamente online qui).
- M. Greenberg, J. Harper: "Algebraic Topology".
- W. Massey: "A Basic Course in Algebraic Topology", Springer-Verlag.
- E. Spanier: "Algebraic Topology".
- altri testi suggeriti:
- M. Greenberg: "Lectures on Algebraic Topology".
- C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica".
- M. Massey: "Algebraic Topology, an Introduction".
- M. Manetti, "Topologia", seconda edizione, Springer, Milano 2014
- E. Sernesi: "Geometria 2".
- P. Hilton: "Introduction to Homotopy Theory".
- S. Hu: "Homotopy Theory".
- J. Milnor, Spivak: "Morse Theory".
- W. Massey: "Singular Homology Theory".
- S. Hu: "Homology Theory".
- C. Maunder: "Algebraic Topology".
- G. Bredon: "Topology and geometry".
Diario del corso:
1 (2/10/2015): Introduzione al corso. Omotopie e omotopie relative; composizioni di omotopie. Retrazioni. Retratti di deformazione. Mapping cylinder. Equivalenza omotopica. Cammini. Omotopia con estremi fissi di cammini. Riparametrizzazione di cammini. Composizione di cammini. Il gruppoide fondamentale; associatività, elementi neutri, inversi. Il gruppo fondamentale; omomorfismo indotto.
2 (5/10/2015): Il gruppo fondamentale di un prodotto. Dipendenza del gruppo fondamentale dal punto base. Omomorfismi indotti da mappe omotope. Spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi; esempi. Spazi semplicemente connessi. Spazi contraibili.
3 (6/10/2015): Gruppi abeliani liberi. Il gruppo abeliano libero su un insieme. I sottogruppi di un gruppo abeliano libero sono liberi. Dimostrazione solo nel caso finitamente generato.
4 (9/10/2015): Simplesso standard e facce.
Simplessi singolari in uno spazio topologico.
Facce di un simplesso singolare.
Catene singolari in uno spazio topologico.
Operatore di bordo.
Complessi di gruppi abeliani.
Omologia di un complesso.
Complesse delle catene singolari in uno spazio topologico.
Omologia singolare di uno spazio topologico.
5 (12/10/2015): Prodotto libero di una famiglia di gruppi. Parole, parole ridotte, prodotto di parole ridotte, associatività del prodotto, elemento neutro e inverso. Proprietà universale del prodotto libero di gruppi. Il teorema di van Kampen: enunciato, dimostrazione della suriettività dell'omomorfismo di van Kampen.
6 (13/10/2015): Omologia del punto. Relazione fra omologia e componenti connesse per archi. Omologia 0-dimensionale per spazi connessi per archi.
7 (15/10/2015): Ancora sulla suriettività dell'omomorfismo di van Kampen. Esempi di calcolo di gruppi fondamentali tramite il teorema di van Kampen: sfere di dimensione \(\ge 2\), bouquet di cerchi, complementare di un cerchio in \(\mathbb R^3\), di due o più cerchi non concatenati in \(\mathbb R^3\), di due cerchi concatenati in \(\mathbb R^3\). La nozione di rivestimento. Esempio: la retta reale come rivestimento del cerchio.
8 (16/10/2015): Omologia ridotta. Successioni esatte di gruppi abeliani. Successioni esatte corte che si spezzano. Morfismi di complessi e morfismo indotto in omologia.
9 (20/10/2015): Categorie. Funtori. La categoria dei complessi di gruppi abeliani.
L'omologia come funtore dai complessi nei gruppi abeliani.
Il gruppo fondamentale e l'omologia singolare come funtori.
Operatori di omotopia fra morfismi di complessi.
Teorema di invarianza omotopica dell'omologia singolare (prima parte della dimostrazione).
10 (23/10/2015): Fine della dimostrazione del teorema di invarianza omotopica. Sottocomplessi. Se \(A\) è un sottospazio di \(X\), allora il complesso delle catene singolari di \(A\) è un sottocomplesso del complesso delle catene singolari di \(X\).
11 (26/10/2015): Ancora sul gruppo fondamentale del complementare di cerchi concatenati in \(\mathbb R^3\). Il teorema di sollevamento delle omotopie. Applicazione: gruppo fondamentale del cerchio.
12 (27/10/2015): Successioni esatte di complessi di gruppi abeliani. Successione esatta lunga in omologia. Definizione dell'omomorfismo di connessione.
13 (2/11/2015): Ancora sul gruppo fondamentale del cerchio. Applicazioni: teorema di punto fisso di Brouwer. Rivestimenti e sollevamenti di mappe; unicità del sollevamento. Il gruppo fondamentale \(H\) di un rivestimento come sottogruppo del gruppo fondamentale \(G\) dello spazio rivestito; criterio perché la classe di un cammino chiuso sia in questo sottogruppo. La fibra sopra un punto è in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle classi laterali di \(H\) in \(G\).
14 (3/11/2015): L'omomorfismo di connessione è ben definito. La successione esatta lunga è esatta.
15 (9/11/2015): Spazi puntati e applicazioni continue tra i medesimi. Rivestimenti puntati. Isomorfismi di rivestimenti, puntati e non. Teorema di sollevamento delle applicazioni continue. Due rivestimenti di uno spazio \((X,x_0)\) tali che le immagini in \(\pi_1(X,x_0)\) dei loro gruppi fondamentali siano uguali sono isomorfi tra loro. Rivestimento universale. Costruzione del rivestimento universale.
16 (13/11/2015): Simplessi e catene piccole rispetto a un ricoprimento aperto. Calcolo dell'omologia mediante catene piccole (prima parte della dimostrazione).
17 (16/11/2015): Il rivestimento universale è semplicemente connesso. Automorfismi di un rivestimento. Azioni di gruppo propriamente discontinue e senza punti fissi. Costruzione di un rivestimento per quoziente modulo una tale azione; automorfismi del rivestimento ottenuto. Identificazione degli automorfismi di un rivestimento con \(N(H)/H\), dove \(H\) è il gruppo fondamentale dello spazio rivestente e \(N(H)\) il normalizzante di \(H\) nel gruppo fondamentale dello spazio rivestito.
18 (17/11/2015): Fine della dimostrazione del teorema sulle catene piccole. Teorema di escissione. Invarianza omotopica per le coppie. Successione esatta della terna. Relazione fra omologia ridotta e omologia di uno spazio puntato.
19 (20/11/2015): Coppie buone. Successione esatta per le coppie buone. Omologia delle sfere.
20 (23/11/2015): Classificazione dei rivestimenti di uno spazio connesso per archi e locamlmente connesso per archi che ammette un rivestimento universale. Incollamento di uno spazio \(X\) a uno spazio \(Y\) tramite una applicazione continua \(f:A\to Y\), dove \(A\subset X\). CW-complessi; scheletri di un CW-complesso. Dimensione di un CW-complesso. Esempi di CW-complessi: sfere e spazi proiettivi.
21 (24/11/2015): Esempi di CW-complessi: spazi proiettivi complessi, grafi. Criterio per la continuità di una mappa da un CW-complesso a un altro spazio. I sottinsiemi compatti di un CW-complesso sono contenuti in una unione finita di celle. Sottocomplessi. Quoziente modulo un sottocomplesso.
22 (27/11/2015): Teorema di invarianza della dimensione. Successione di Mayer-Vietoris. Teorema di separazione di Jordan-Brouwer.
23 (30/11/2015): Topologia dei CW-complessi. I sottinsiemi compatti di un CW-complesso sono contenuti in un sottocomplesso finito. \(\varepsilon\)-intorni di un sottoinsieme di un CW-complesso.
24 (1/12/2015): Fine della dimostrazione del Teorema di separazione di Jordan-Brouwer. Teorema di Invarianza del Dominio.
25 (3/12/2015): I CW-complessi sono T4. Ogni sottocomplesso di un CW-complesso è retratto di deformazione di un suo intorno. I CW-complessi sono localmente contraibili. Coppie aventi la proprietà di estensione delle omotopie e loro caratterizzazioni.
26 (4/12/2015): Grado di applicazioni fra sfere. Grado dell'applicazione antipodale. Applicazioni senza punti fissi della sfera in sè. Non pettinabilità delle sfere di dimensione pari. Omologia del bouquet di spazi. Omologia dei CW complessi.
27 (4/12/2015): Se \((X,A)\) ha la proprietà di estensione delle omotopie e \(A\) è contraibile, \(X\) è omotopicamente equivalente a \(X/A\). Le coppie (CW-complesso, sottocomplesso) hanno la proprietà di estensione delle omotopie. Applicazione: tutti i complessi 1-dimensionali connessi sono omotopicamente equivalenti a bouquets di cerchi. Mappe di attaccamento omotope (di una coppia (CW-complesso, sottocomplesso)) danno spazi omotopicamente equivalenti. La nozione di varietà topologica. Dimensione di una varietà topologica. Superfici. Esempi di superfici e di altre varietà topologiche.
28 (11/12/2015): Il gruppo fondamentale di un CW-complesso connesso è quoziente di quello dell'1-scheletro e isomorfo a quello dell'\(n\)-scheletro per ogni \(n>1\). Superfici orientabili e non. Decomposizione in pantaloni di una superficie orientabile e CW-complesso associato. Caratteristica di Eulero-Poincaré di un CW-complesso; cenno sulla sua invarianza topologica. Somma connessa di superfici. Superficie orientabile di genere \(g\) come somma connessa di \(g\) tori. Superficie orientabile di genere \(g\) come quoziente di un poligono a \(4g\) lati e relativa decomposizione cellulare. Bottiglia di Klein; descrizione della stessa come somma connessa di due copie del piano proiettivo reale.
29 (14/12/2015): Le somme connesse di una superficie non orientabile con un toro o una bottiglia di Klein sono omeomorfe tra loro. Abelianizzato di un gruppo. Calcolo del gruppo fondamentale di una superficie e del suo abelianizzato. Classificazione delle superfici.
30 (15/12/2015): Se \((X,A)\) è una coppia (CW-complesso, sottocomplesso) la topologia quoziente e la topologia di CW-complesso su \(X/A\) coincidono. Cenni sul paragone tra la topologia prodotto e quella di CW-complesso su un prodotto di CW-complessi. L'applicazione canonica dal gruppo fondamentale al primo gruppo di comologia intera; interpretazione di quest'ultimo come abelianizzato del gruppo fondamentale.
31 (15/12/2015): Omologia cellulare.
32 (18/12/2015): Formula del bordo in omologia cellulare. Omologia degli spazi proiettivi reali e complessi. Numeri di Betti e invarianza topologica della caratteristica di Eulero-Poincaré.
33 (8/1/2016): Rango di gruppi abeliani e successioni esatte. Omologia delle superfici compatte. Cenni sui complessi simpliciali.
34 (12/1/2016): Complementi: presentazioni di gruppi, spazi con gruppo fondamentale assegnato, spazi con gruppi di omologia assegnati, orientazione dal punto di vista differenziale e topologico.
