Istituzioni di geometria - anno 2016-17

- Orario del corso

- Descrizione: Il corso è una introduzione ai concetti e ai metodi fondamentali della geometria differenziale

- Programma di massima del corso:
- Varietà differenziabili: spazio tangente e spazio cotangente, campi vettoriali e forme differenziali, campi vettoriali e coordinate: il teorema di Frobenius, gruppi e algebre di Lie.
- Elementi di topologia differenziale: lemma di Sard, teorema di deRham.
- Geometria Riemanniana: varietà riemanniane e connessioni di Levi-Civita, curvatura, geodetiche, completezza, teoremi di Hopf-Rinow e di Whitehead, campi di Jacobi.
- Varietà complesse (tempo permettendo): funzioni olomorfe di più variabili complesse e loro prime proprietà, funzioni meromorfe, varietà complesse, varietà kaehleriane.

- testi:
- Gian Pietro Pirola: dispense.
- M. Cornalba: Note di geometria differenziale.
- Frank Warner: "Foundations of differentiable manifolds and Lie groups". Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin.
- Manfredo Perdigao Do Carmo: "Riemannian Geometry", Birkhaeuser.
- Boothby, William M.: "An introduction to differentiable manifolds and
- Riemannian geometry". Pure and Applied Mathematics, No. 63. Academic Press, New York-London, 1975.
- Th. Broecker and K. Jaenich: "Introduction to differential topology".
- Milnor, J.: "Morse theory". Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.
- D. Huybrechts: "Complex geometry. An introduction". Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005.

- note:
- Note sul teorema di de Rham (pdf)


Diario del corso:

1 (3/10/2016): Introduzione al corso. Atlanti \(C^k\), atlanti compatibili, atlanti massimali. Varietà \(C^k\). Funzioni \(C^k\) su varietà e tra varietà. La composizione di funzioni \(C^k\) è \(C^k\). Germi di funzioni \(C^k\). Vettori tangenti come classi di equivalenza di cammini. Derivazione associata a un vettore tangente. Ogni derivazione sui germi di funzioni in un punto viene da un vettore tangente nel punto stesso.

2 (6/10/2016): Ogni derivazione sui germi di funzioni in un punto viene da un vettore tangente (fine). Campi di vettori tangenti. Parentesi di Lie e sue proprietà formali. Fibrato tangente a una varietà differenziabile. Teorema della funzione inversa, teorema del rango e suoi casi particolari.

3 (7/10/2016): Prodotto e prodotto fibrato di varietà, sottovarietà. Differenziale di una applicazione liscia tra varietà. Spazio cotangente; fibrato cotangente. 1-forme differenziali. Differenziabilità delle operazioni su fibrato tangente e cotangente. Forme alternanti su uno spazio vettoriale. Prodotto esterno di forme alternanti.

4 (10/10/2016): Associatività e anticommutatività del prodotto esterno. Algebra esterna. Dimensione e basi della componente omogenea di grado \(k\) dell'algebra esterna. \(k\)-forme differenziali su una varietà differenziabile. Differenziazione esterna.

5 (13/10/2016): Proprietà formali della differenziazione esterna. Gradiente, rotore e divergenza come casi particolari di differenziazione esterna. Algebra tensoriale su uno spazio vettoriale di dimensione finita. Tensori su una varietà differenziabile. Metriche su una varietà differenziabile. Metriche Riemanniane e Lorentziane. Famiglie localmente finite di sottoinsiemi di uno spazio topologico. Spazi paracompatti.

6 (14/10/2016): Partizioni dell'unità. Esistenza di partizioni dell'unità lisce su una varietà differenziabile. Applicazioni: esistenza di metriche riemanniane, implicazioni topologiche dell'esistenza di una metrica lorentziana.

7 (17/10/2016): Gli spazi paracompatti sono T4. Ogni ricoprimento aperto localmente finito di uno spazio paracompatto ammette un restringimento. Gli spazi localmente compatti di Hausdorff a base numerabile sono paracompatti. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Campo vettoriale associato a un gruppo a un parametro. Integrazione di campi vettoriali.

8 (20/10/2016): Integrazione di campi vettoriali (fine). Definizioni equivalenti di tensore. Connessioni sul fibrato tangente. Torsione e curvatura di una connessione. Torsione e curvatura sono tensori. Simboli di Christoffel. Interpretazione della torsione in termini di simboli di Christoffel.

9 (21/10/2016): Dei campi di vettori indipendenti sono derivazioni rispetto a componenti di un sistema di coordinate locali se e solo se tutte le loro parentesi di Lie sono nulle. Varietà riemanniane e semi-riemanniane. Esistenza e unicità della connessione riemanniana.

10 (24/10/2016): Distribuzioni di sottospazi. Distribuzioni integrabili. Distribuzioni involutive. Teorema di Frobenius. Campi di vettori lungo un cammino e lungo una superficie parametrizzata; estensione a questi dell'operazione di derivata covariante. Trasporto parallelo. Proprietà formali del tensore di curvatura su una varietà semi-riemanniana. Geodetiche.

11 (27/10/2016): Curvatura sezionale. Ipersuperfici in una varietà semiriemanniana: applicazione di Weingarten, formula di Gauss, curvatura. Il caso delle ipersuperfici in spazi piatti. Esempi: sfera, spazio iperbolico \(n\)-dimensionale.

12 (28/10/2016): La velocità è costante lungo le geodetiche. Il funzionale azione. Geodetiche come estremali dell'azione. Mappa esponenziale. Due punti sufficientemente vicini sono congiunti da una geodetica minimale che dipende in modo liscio dagli estremi.

13 (3/11/2016): La curvatura sezionale determina il tensore di curvatura. Lemma di Gauss. Su una varietà riemanniana le geodetiche minimizzano localmente la lunghezza. Distanza geodetica; la topologia metrica coincide con la topologia di varietà. Completezza geodetica.

14 (4/11/2016): Teorema di Hopf-Rinow. Per una varietà riemanniana la completezza metrica equivale alla completezza geodetica. Convessità geodetica. Ogni punto di una varietà riemanniana ha un sistema fondamentale di intorni geodeticamente convessi.

15 (7/11/2016): Ogni punto di una varietà riemanniana ha un sistema fondamentale di intorni geodeticamente convessi (fine). Gruppo di Lorentz. Geometria degli spazi iperbolici; geodetiche nei medesimi.

16 (10/11/2016): Modelli di Beltrami degli spazi iperbolici: metrica e geodetiche. Su una varietà i minimi dell'azione sono le geodetiche minimali.

17 (11/11/2016): Formula della variazione prima per il funzionale azione. Formula della variazione seconda. Campi di Jacobi.

18 (14/11/2016): Lo spazio dei campi di Jacobi nulli negli estremi è lo spazio nullo dell'Hessiano dell'azione. I campi di Jacobi sono i campi tangenti a una variazione tramite geodetiche. Punti coniugati lungo una geodetica. Curvatura di Ricci. Teorema di Myers.

19 (17/11/2016): Dimostrazione del teorema di Myers. Teorema dell'indice di Morse; prima parte della dimostrazione.

20 (18/11/2016): Teorema dell'indice di Morse: fine della dimostrazione. Punti critici e valori critici. I punti coniugati a \(p\) lungo qualche geodetica sono i valori critici dell'esponenziale centrata in \(p\).

21 (21/11/2016): Sottoinsiemi di misura nulla di una varietà differenziabile. Lemma di Sard. Nel caso di curvatura sezionale non positiva l'esponenziale è un diffeomorfismo locale.

22 (24/11/2016): Lemma di Poincaré. Complessi di gruppi abeliani e di spazi vettoriali. (Co)omologia di un complesso. Coomologia di deRham di una varietà differenziabile. Catene di un fascio rispetto a un ricoprimento. Cobordo. Il quadrato del cobordo è nullo. Coomologia di un fascio rispetto a un ricoprimento; casi concreti: coomologia delle \(p\)-forme e sua banalità, coomologia reale.

23 (24/11/2016): Complessi doppi. Complesso totale associato a un complesso doppio. Paragone tra la coomologia del complesso totale e la coomologia del nucleo in grado zero di uno dei due differenziali del complesso doppio. Per un ricoprimento localmente finito di una varietà differenziabile \(M\) con aperti geodeticamente convessi la coomologia reale del ricoprimento è isomorfa alla coomologia di deRham di \(M\).

24 (28/11/2016): Limiti diretti. Proprietà universale del limite diretto. Coomologia di Cech.

25 (1/12/2016): Isomorfismo tra coomologia di Cech e coomologia di deRham. Simplessi. Simplessi standard. Simplessi e catene singolari. Bordo di un simplesso. Il bordo ha quadrato nullo. Omologia singolare. Catene lisce in una varietà differenziabile e relativa omologia. Simplessi lineari. Baricentro. Suddivisione baricentrica di una catena lineare e relativa formula di omotopia.

26 (2/12/2016): Suddivisione baricentrica di una catena singolare. Formula di omotopia. Catene singolari \(\mathcal U\)-piccole, dove \(\mathcal U\) è un ricoprimento aperto, e relativa omologia; isomorfismo tra quest'ultima e l'omologia singolare. Coomologia singolare.

27 (5/12/2016): La coomologia singolare reale è il duale dell'omologia singolare reale. Per un ricoprimento localmente finito di una varietà differenziabile \(M\) con aperti geodeticamente convessi la coomologia reale del ricoprimento è isomorfa alla coomologia singolare reale di \(M\).

28 (12/12/2016): Omologia e coomologia relativa. Successioni esatte di complessi. Successione esatta lunga associata a una successione esatta corta di complessi. Successione esatta di omologia e di coomologia. Funtorialità di omologia e coomologia. Lemma dei cinque. Omologia del punto. Proprietà di escissione.

29 (15/12/2016): Prismi in omologia singolare. Proprietà di omotopia per omologia e coomologia singolare.

30 (16/12/2016): Varietà orientabili e orientate. Integrazione di forme differenziali. Teorema di Stokes.

31 (19/12/2016): Teorema di Stokes e sue varianti. Teorema di deRham. Equivalenze omotopiche. Retratti di deformazione.

32 (22/12/2016): Operatore star su una varietà riemanniana orientata. Prodotto scalare di \(p\)-forme su una varietà riemanniana orientata. Aggiunto formale dell'operatore \(d\). Operatore di Laplace-Beltrami. Teorema di Hodge. Dualità di Poincaré su una varietà orientata compatta.

33 (9/1/2017): Equazioni di Cauchy-Riemann. Funzioni olomorfe. Formula di Cauchy in più variabili; sviluppabilità in serie di potenze delle funzioni olomorfe in più variabili. Operatori \(\partial\) e \(\overline\partial\) e loro funtorialità rispetto alle funzioni olomorfe; estensione dei medesimi alle forme. Tipo di una forma differenziale complessa. Varietà complesse. Funzioni olomorfe fra le medesime.

34 (10/1/2017): Fibrato tangente olomorfo e complessificato del fibrato tangente reale. Metriche hermitiane. Algebra su uno spazio vettoriale hermitiano. Calcolo esplicito dell'operatore star. Operatori \(L\) e \(\Lambda\).

35 (11/1/2017): Algebra su uno spazio vettoriale hermitiano. Commutatore di \(L\) e \(\Lambda\). Algebre di Lie; rappresentazioni delle medesime. Esempi. L'algebra esterna su uno spazio vettoriale hermitiano come rappresentazione di \(sl_2(\mathbb C)\). Struttura delle rappresentazioni di \(sl_2(\mathbb C)\). Rappresentazioni irriducibili di \(sl_2(\mathbb C)\).

36 (12/1/2017): Completa riducibilità delle rappresentazioni di dimensione finita di \(sl_2(\mathbb C)\); struttura delle medesime. Varietà kähleriane. Esempi: metriche di Fubini-Study sugli spazi proiettivi complessi, varietà proiettive. Su una varietà kähleriana il Laplaciano commuta con gli operatori \(L\) e \(\Lambda\). La coomologia complessa di una varietà kähleriana compatta come rappresentazione di \(sl_2(\mathbb C)\). Coomologia primitiva. Laplaciani complessi. Uguaglianza, nel caso kähleriano, del doppio di ognuno di essi con il Laplaciano reale. Decomposizione di Hodge.

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