Algebra 1 - anno 2012-13
- Appelli di esame: Venerdì 20 settembre 2013 ore 10, aula E10
- Prova scritta del 22-1-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 14-2-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 17-6-2013: Testo e soluzioni
- Prova scritta del 20-9-2013: Testo e soluzioni | Esito della prova e calendario degli orali
- Descrizione del corso:
Una introduzione alle strutture fondamentali dell'algebra: gruppi,
anelli, campi.
- Programma del corso:
- I numeri interi. Divisione con resto di interi. Massimo comun divisore e
algoritmo euclideo. Fattorizzazione unica degli interi. Congruenze.
- Gruppi: definizione ed esempi. Sottogruppi. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi.
Nucleo di un omomorfismo. Prodotti diretti di gruppi. Teorema di Lagrange.
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Gruppi simmetrici e teorema di Cayley.
Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per gruppi.
- Anelli (commutativi e non), domini di integrità, anelli con divisione e campi.
Omomorfismi di anelli. Ideali e operazioni sugli ideali. Anello quoziente
modulo un ideale bilatero. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per anelli.
Ideali primi e massimali. Teorema cinese del resto. Domini euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica.
Campo delle frazioni di un dominio.
- Polinomi a coefficienti in un anello. Divisione di polinomi. Fattorizzazione di polinomi. Regola di Ruffini. Derivata
di un polinomio. Radici multiple.
- Estensioni di campi. Grado di un'estensione; moltiplicatività del grado.
Elementi algebrici e trascendenti. Transitività dell'algebricità. Aggiunzione
simbolica di radici. Campo di spezzamento di un polinomio. Chiusura algebrica.
Il "teorema fondamentale dell'algebra". Classificazione dei campi finiti. Sottogruppi finiti
del gruppo moltiplicativo di un campo.
- modalità di esame:
- prova scritta di 2 ore + orale
- testi:
- I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993
- Note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf
- altri testi suggeriti:
- M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997
- note:
- Linearità delle isometrie di \(\mathbb{R}^n\) (pdf)
- Quaternioni (pdf)
- Il teorema fondamentale sugli omomorfismi di gruppi (pdf)
- Il gruppo alterno \(A_n\) è semplice se \(n > 4\) (pdf)
- Appunti di teoria degli insiemi (pdf)
- Primi negli interi Gaussiani (pdf)
- Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo (pdf)
- Diario del corso:
1 (2/10/2012): Introduzione al corso. I numeri interi. Numeri primi. Massimo comun divisore di due interi. Algoritmo euclideo per la ricerca del massimo comun divisore.
2 (2/10/2012): Ancora sull'algoritmo euclideo. Massimo comun divisore di \(a\) e \(b\) come combinazione lineare a coefficienti interi di \(a\) e \(b\). Interi irriducibili. Un intero è irriducibile se e solo se è primo. Decomposizione di un intero in fattori primi.
3 (3/10/2012): Minimo comune multiplo di due interi. Divisibilità, massimo comun divisore e minimo comune multiplo in termini di decomposizioni in fattori primi. Congruenze. La congruenza modulo \(n\) è una relazione di equivalenza. Somma e prodotto di congruenze. Inverso modulo \(n\). Teorema cinese del resto per moduli primi fra loro.
4 (4/10/2012): Teorema cinese del resto per moduli qualsiasi. Simmetrie: automorfismi di spazi vettoriali, permutazioni.
5 (4/10/2012): Simmetrie di figure geometriche (stelle e svastiche regolari, fregi). Simmetrie di grafi. La nozione astratta di gruppo. Unicità di elemento neutro e inverso. Proprietà di cancellazione.
6 (9/10/2012): Potenze di un elemento. Legge delle potenze. Inverso di un prodotto. Esempi: gruppi simmetrici, gruppo delle isometrie del piano, gruppo ortogonale.
7 (9/10/2012): Altri esempi di gruppi: gruppi ciclici e gruppi diedrali finiti. Gruppo lineare.
8 (11/10/2012): Gruppo additivo degli interi, gruppo degli interi modulo \(n\), gruppo moltiplicativo degli interi modulo \(n\). Funzione di Eulero.
9 (11/10/2012): Classificazione dei gruppi di ordine \(\le 4\). Omomorfismi, isomorfismi, automorfismi di gruppi. Proprietà elementari degli omomorfismi; composizione, inverso di un isomorfismo. Gruppo degli automorfismi di un gruppo. Esempi di omomorfismo: determinante, omomorfismo naturale da \(\mathbb{Z}\) a \(\mathbb{Z}/(n)\).
10 (16/10/2012): Esempi di omomorfismi: da \(\mathbb{Z}\) a un gruppo qualsiasi tramite elevamento a potenza di un elemento, dal gruppo diedrale \(D_n\) al gruppo simmetrico \(S_n\). Segno di una permutazione. Proprietà del segno: segno di una trasposizione, segno di un prodotto di permutazioni.
11 (16/10/2012): Dizionario tra notazione moltiplicativa e notazione additiva. Sottogruppi. Criteri per decidere se un sottoinsieme di un gruppo è un sottogruppo. Esempi: sottogruppo generato da un elemento, nucleo di un omomorfismo.
12 (17/10/2012): Un omomorfismo di gruppi è iniettivo se e solo se ha nucleo \(\{1\}\). Ordine di un elemento e sue proprietà. Gruppi ciclici e loro generatori. Criterio per l'esistenza di un omomorfismo da un gruppo ciclico in un altro gruppo che mandi un generatore in un elemento assegnato; proprietà del medesimo. Gruppi ciclici dello stesso ordine sono isomorfi.
13 (18/10/2012): Ordine di un elemento come ordine del sottogruppo generato. Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico. Classificazione dei sottogruppi dei gruppi ciclici; descrizione dei medesimi per generatori o come nuclei di elevamenti a potenza. Esempio: sottogruppi di \(\mathbb{Z}\).
14 (18/10/2012): Intersezione di sottogruppi. Prodotto di sottogruppi. Un prodotto di sottogruppi è un sottogruppo se e solo se i fattori commutano. Esempio: somma e intersezione di sottogruppi di \(\mathbb{Z}\).
15 (19/10/2012): Classi laterali. Le classi laterali formano una partizione. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Piccolo teorema di Fermat e sue prime conseguenze.
16 (19/10/2012): I gruppi di ordine primo sono ciclici. Linearità delle isometrie di \(\mathbb{R}^n\) (euclideo).
17 (23/10/2012): Sottogruppi normali. Esempi di sottogruppi normali e non. Il nucleo di un omomorfismo è normale. I sottogruppi di indice 2 sono normali.
18 (23/10/2012): Sottogruppo generato da un insieme di elementi e sua descrizione esplicita; condizioni sufficienti per la sua normalità. Descrizione per generatori e relazioni dei gruppi diedrali. Immagine e immagine inversa di un sottogruppo. Corrispondenza tra sottogruppi dell'immagine di un omomorfismo e sottogruppi del dominio contenenti il nucleo; idem per sottogruppi normali.
19 (25/10/2012): Prodotto diretto di gruppi. Omomorfismi in un prodotto diretto. Esempio: \(\mathbb{Z}/(ab) \to \mathbb{Z}/(a) \times \mathbb{Z}/(b)\). Il prodotto di due gruppi ciclici è ciclico se e solo se gli ordini dei fattori sono primi fra loro.
20 (25/10/2012): Se \(H\) e \(K\) sono sottogruppi finiti di \(G\) il numero di elementi di \(HK\) è \((\# H\cdot\# K)\big/\#(H\cap K)\). Se \(H\) e \(K\) sono sottogruppi normali di \(G\) e \(H\cap K=\{1\}\) allora \(HK\) è isomorfo a \(H\times K\). Gruppo quoziente modulo un sottogruppo normale.
21 (6/11/2012): Teorema di omomorfismo per gruppi. Primo, secondo e terzo teorema di isomorfismo per gruppi.
22 (6/11/2012): Esempi di sottogruppi normali: centro, gruppo dei commutatori. Proprietà universale del gruppo dei commutatori. I quaternioni.
23 (8/11/2012): Le unità quaternioniche. \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{C}\) come sottocampi di \(\mathbb{H}\). Cicli. Cicli disgiunti commutano. Azioni di un gruppo su un insieme. Orbite. Partizione in orbite. Esempi di azione: azione sinistra e destra di un sottogruppo su un gruppo. L'omomorfismo \(G\to S(G/H)\) indotto dall'azione di \(G\) su \(G/H\).
24 (8/11/2012): Altri esempi di azione: azione naturale di un gruppo di permutazioni su un insieme, azione di \(K^*\) su uno spazio vettoriale sul campo \(K\), azione per coniugio. Automorfismi interni. Esistenza e unicità della decomposizione di una permutazione come prodotto cicli disgiunti.
25 (13/11/2012): Ancora sull'esistenza e unicità della decomposizione di una permutazione come prodotto cicli disgiunti. Il coniugio nei gruppi simmetrici. Anelli. Esempi: \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\), \(\mathbb{H}\), matrici quadrate, anelli di funzioni, \(\mathbb{Z}/(n)\). Unicità di 1. Moltiplicazione per 0. Anello nullo e sua caratterizzazione. Non validità della proprietà di cancellazione rispetto al prodotto.
26 (13/11/2012): Prodotti di anelli. Omomorfismi di anelli. Anelli con divisione e campi. Cancellazione nei medesimi. Divisori di zero. Esempi. Domini di integrità. Cancellazione nei medesimi.
27 (15/11/2012): Sottoanelli e loro caratterizzazione. Sottoanello generato da un sottinsieme: esistenza e descrizione esplicita. L'anello \(A[b_1,\dots,b_n]\). Interi Gaussiani.
28 (15/11/2012): Il gruppo alterno è generato dai 3-cicli; un suo sottogruppo normale che contiene un 3-ciclo coincide con il gruppo alterno. Unità. Gruppo delle unità; esempi.
29 (20/11/2012): Ogni dominio finito è un campo. Cenno al teorema di Wedderburn. \(\mathbb{Z}/(n)\) è un dominio se e solo se \(n\) è primo. Teorema di omomorfismo per anelli. Omomorfismo naturale dagli interi a un anello e sottoanello minimo. Caratteristica di un dominio.
30 (20/11/2012): Ideali destri, sinistri e bilateri. Il nucleo di un omomorfismo di anelli è un ideale bilatero. Quoziente di un anello modulo un ideale bilatero. Primo teorema di isomorfismo per anelli. Somma, intersezione e prodotto di ideali. Ideale generato da un sottinsieme di un anello.
31 (22/11/2012): Ideali principali. Domini a ideali principali. Ideali in \(\mathbb{Z}\). Significato di somma, intersezione, prodotto per ideali in \(\mathbb{Z}\). Ideali propri. Un ideale è proprio se e solo se non contiene 1. Ideali primi. Corrispondenza biunivoca tra ideali in \(A/I\) e ideali in \(A\) contenenti \(I\). Un ideale \(I\) è primo se e solo se \(A/I\) è un dominio.
32 (22/11/2012): Ideali massimali. Esempio: ideali primi e massimali negli interi. Un ideale \(I\) è massimale se e solo se il quoziente modulo \(I\) è un campo. Ideali coprimi. Teorema cinese del resto per anelli commutativi.
33 (27/11/2012): Elementi algebrici e trascendenti. Omomorfismo di sostituzione (o di valutazione).
34 (27/11/2012): Costruzione dell'anello dei polinomi in una indeterminata.
35 (29/11/2012): Principio di identità dei polinomi. Grado e coefficiente dominante di un polinomio. Grado di una somma e di un prodotto di polinomi. Divisione con resto di polinomi.
36 (29/11/2012): Domini euclidei. Esempi: \(\mathbb{Z}\), \(K[X]\), \(\mathbb{Z}[i]\). Ogni dominio euclideo è un PID.
37 (4/12/2012): Ordinamenti parziali, maggioranti e minoranti, elementi massimali, catene. Assioma della scelta e lemma di Zorn. Esempi. Esistenza di ideali massimali.
38 (4/12/2012): Elementi associati. Elementi primi e irriducibili. In un dominio ogni elemento primo è irriducibile; in un PID vale il viceversa, anzi ogni elemento irriducibile genera un ideale massimale. Ogni PID è un dominio a fattorizzazione unica.
39 (6/12/2012): Ogni PID è un dominio a fattorizzazione unica (fine). Domini a fattorizzazione unica (UFD). In un UFD ogni elemento irriducibile è primo. Esistenza e forma esplicita del massimo comun divisore in un UFD.
40 (6/12/2012): \(\mathbb{Z}[X]\) non è un PID. Radici di polinomi. Regola di Ruffini. Un polinomio di grado \(n\) a coefficienti in un dominio ha al più \(n\) radici nel dominio stesso. Derivata di un polinomio e sue proprietà formali.
41 (11/12/2012): Regola di Leibniz. Radici multiple. Una radice di un polinomio \(P\) è multipla se e solo se è radice anche di \(P'\). Estensioni di campi. α è algebrico su \(K\) se e solo se \(K[\alpha]\) è un campo. Polinomio minimo.
42 (11/12/2012): Caratterizzazioni del polinomio minimo. Aggiunzione simbolica. Costruzione di un campo di spezzamento di un polinomio.
43 (13/12/2012): Grado di una estensione. Grado di una estensione semplice come grado del polinomio minimo. Moltiplicatività del grado. Ogni estensione di grado finito è algebrica. Transitività della algebricità.
44 (13/12/2012): Chiusura algebrica di un campo in una estensione. Esempi. Ancora sul campo di spezzamento di un polinomio; unicità a meno di isomorfismo del medesimo (cenno). Esempi. Omomorfismo di Frobenius.
45 (20/12/2012): Costruzione di un campo con \(p^n\) elementi; unicità del medesimo a meno di isomorfismo. Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo (senza dimostrazione).
46 (20/12/2012): Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Costruzione del campo delle frazioni di un dominio; proprietà universale e unicità del medesimo.
47 (10/1/2013): Un gruppo finito in cui \(X^n=1\) ha al più \(n\) soluzioni per ogni intero \(n\ge 0\) è ciclico. I sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un dominio sono ciclici. Applicazioni: gruppi moltiplicativi dei campi finiti, gruppi di radici dell'unità. Radici dell'unità in caratteristica positiva.
48 (10/1/2013): Esempi di domini euclidei: \(\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]\). Esempi di domini che non sono UFD: \(\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]\), con \(p\) dispari e ≥ 3. Teorema di Wilson.
