Secondo
semestre A.A 2023/24 - 9 CFU
Docenti:
Obiettivi
Il corso fornisce uno studio matematico introduttivo di alcune notevoli equazioni alle derivate parziali di tipo evolutivo che descrivono fenomeni di trasporto e diffusione. Si evidenzieranno i legami tra le proprietà fisiche dei sistemi e le proprietà matematiche dei modelli corrispondenti, in particolare l'equazione del trasporto, alcuni tipi di equazioni di diffusione, l'equazione di Boltzmann lineare e il modello di materia soffice (continui).
Prerequisiti
Nozioni di base di analisi matematica, algebra lineare, meccanica e analisi funzionale.
Contenuti
Prima parte (F. Salvarani)
Trasporto e diffusione
Introduzione.
Origine delle equazioni di trasporto e diffusione, il formalismo della teoria cinetica.
L'equazione lineare del trasporto libero.
Il problema di Cauchy. Il metodo delle caratteristiche, stime. Il problema al valore iniziale e al contorno. Bordo entrante, uscente e caratteristico. Tempo di uscita retrogrado, regolarità. Termini di sorgente e assorbimento. Principio del massimo. L'equazione stazionaria del trasporto: teorema di esistenza ed unicità, principio del massimo. Condizioni al contorno "di rinnovo".
Equazioni cinetiche
L'equazione di Boltzmann lineare: il problema di Cauchy, problemi ai limiti (condizioni sul bordo entrante, di riflessione speculare e diffusa). Il lemma di Darrozes-Guiraud. Il limite di diffusione per l'equazione di Boltzmann lineare.
Comportamento asintotico di equazioni cinetiche.
Equazioni di diffusione
L'equazione del calore. Il problema al valore iniziale e al contorno. Stime, regolarità. Equazioni di diffusione non lineari e sistemi di equazioni di diffusione: l'equazione dei mezzi porosi, il sistema di Maxwell-Stefan.
Equazioni di cross-diffusion
Il problema al valore iniziale e al contorno. Stime, regolarità, instabilità di Turing.
Cenni sulle equazioni di Hamilton-Jacobi
Legami con l'equazione del trasporto libero.
Introduzione ai metodi numerici alle differenze finite per equazioni del trasporto e per equazioni di diffusione.
Consistenza, stabilità e convergenza per metodi numerici alle differenze finite. Loro proprietà fondamentali.
Seconda Parte (F. Bisi)
Introduzione alla meccanica dei continui
Testi di riferimento
M. E. Gurtin. An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press (NY), 1981.
G. Allaire, X. Blanc, B. Despres, F. Golse. Transport et diffusion. Les éditions de l'Ecole Polytechnique. Palaiseau 2019
L. C. Evans. Partial differential equations. American Mathematical Society. Providence 1998
J. L. Vázquez. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Clarendon Press. Oxford 2007
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Modalità d'esame
Prova orale.