Corso di
Equazioni Differenziali e Sistemi Dinamici
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Programma svolto:
10/10/01:
introduzione al corso, problema di Cauchy
11/10/01:
spazi normati, completezza, teorema delle contrazioni;
definizione di soluzione in piccolo e in grande
17/10/01:
teorema di esistenza e unicità in piccolo
18/10/01:
prolungamento delle soluzioni - criterio di
nonmassimalità
24/10/01:
soluzioni in grande; esempi vari
25/10/01:
equazioni a variabili separabili, equazioni
omogenee; esempi ed esercizi vari
8/11/01:
equazioni autonome del secondo ordine,
convergenza uniforme sui compatti
9/11/01:
dipendenza continua dai dati, equazioni non lineari
di ordine superiore al primo, introduzione
alle equazioni lineari, struttura dell'insieme
delle soluzioni
15/11/01:
metodo della variazione delle costanti per
i sistemi; esercizi
16/11/01:
equazioni lineari di ordine superiore al primo e
metodo della variazione delle costanti per queste,
abbassamento di ordine; esercizi vari
22/11/01:
richiami di algebra lineare;
introduzione ai sistemi lineari a coefficienti
costanti
23/11/01:
forme canoniche delle matrici reali quadrate;
applicazione ai sistemi lineari a coefficienti
costanti
29/11/01:
matrice esponenziale
30/11/01:
esercizi di riepilogo sui sistemi; equazioni
lineari a coefficienti costanti di ordine superiore
al primo
6/12/01:
esercizi, studi qualitativi
7/12/01:
studi qualitativi, sistemi autonomi, introduzione
alla teoria della stabilità, "sorgenti" e "pozzi"
13/12/01:
caratterizzazione di "sorgenti" e "pozzi"
lineari
14/12/01:
esercizi sulla stabilità lineare; comportamento e
classificazione dei sistemi in dimensione 2;
determinazione delle traiettorie
20/12/01:
esercizi sulla stabilità nonlineare;
studi qualitativi delle orbite
21/12/01:
stabilità secondo Liapounov
(definizione e teorema fondamentale)
10/01/02:
criterio per la stabilità asintotica;
bacino di attrazione di un punto di equilibrio
asintoticamente stabile
11/01/02:
esercizi sulla stabilità dei sistemi lineari
utilizzando il metodo di Liapounov. Applicazioni:
oscillazioni smorzate, circuiti RCL con legge di
Ohm generalizzata; cicli limite; biforcazione
17/01/02:
introduzione alle equazioni differenziali
alle derivate parziali
18/01/02:
derivazione delle equazioni della fisica matematica,
alcune tecniche di risoluzione e problematiche
connesse
Teoremi svolti con dimostrazione:
-
Completezza dello spazio delle funzioni continue
-
Teorema delle contrazioni
-
Equivalenza delle formulazioni differenziale e integrale del
problema di Cauchy
-
Teorema di esistenza e unicità in piccolo
-
Esistenza della soluzione massimale
-
Prolungabilità di funzioni lipschitziane
-
Criterio di nonmassimalità
-
Lemma di Gronwall
-
Teorema di esistenza e unicità in grande
-
Teorema di dipendenza continua dai dati
-
Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione
differenziale lineare
-
Metodo della variazione delle costanti
-
La matrice Y=exp(At) risolve il sistema lineare Y'=AY
-
Caratterizzazione di "sorgenti" e "pozzi" esponenziali nel caso lineare
-
Esistenza e unicità delle varietà stabile e instabile
-
Caratterizzazione dei "pozzi" esponenziali nel caso non lineare
-
Teorema di Liapounov
-
Criterio per la stabilità asintotica
-
Caratterizzazione del bacino di attrazione di un equilibrio
asintoticamente stabile
Modalità d'esame:
La prova scritta comprenderà esercizi
analoghi per tipologia e grado di difficoltà a quelli
svolti a lezione.
Nella prova orale sarà richiesta la
conoscenza della dimostrazione di 5 dei Teoremi
sopra riportati (naturalmente all'inizio della prova orale
il candidato dovrà indicare chiaramente quali).
Sarà particolarmente apprezzata una scelta
che privilegi i teoremi più significativi
(e non i più semplici).
Ultimo aggiornamento: 9 settembre 2002,
da parte di
G.S.