CORSO DI ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

Anno Accademico 2009-2010
 
Registro delle lezioni

Mercoledi' 7/10/2009 14-16
Esempi di varieta` differenziabili: spazi proiettivi, Grassmanniane. La retta proiettiva complessa e` diffeomorfa a S^2. Definizione di superficie di Riemann, esempi. Il piano complesso, la retta proiettiva complessa, la sfera di Riemann. Definizione di funzioni olomorfe tra superfici di Riemann. La sfera di Riemann e` biolomorfa a P^1(C).

Martedi' 13/10/2009 9-11
Struttura di superficie di Riemann su un toro complesso.
Teorema della funzione inversa, teorema del rango versione suriettiva e iniettiva, teorema della funzione implicita. Punti critici, punti regolari, valori critici e valori regolari di una applicazione differenziabile tra varieta' differenziabili. L'immagine inversa di un valore regolare e' una sottovarieta'. Sottovarieta' trasverse ad una applicazione differenziabile F tra due varieta' differenziabili. La controimmagine tramite F di una sottovarieta' trasversa ad F e' una sottovarieta'. 

Martedi' 20/10/2009 9-11
Immersioni e summersioni. Un'immersione e' localmente un embedding. Una immersione iniettiva e propria e' un embedding. Esempio di immersione iniettiva che non e' un embedding. Insiemi di misura nulla e lemma di Sard (solo enunciato).  Conseguenze: teorema del punto fisso di Brouwer. Enunciato del teorema di Whitney.  Equivalenza tra teorema della funzione inversa e teorema del Dini.

Martedi' 27/10/2009 9-11
Fibrazioni localmente banali e fibrati vettoriali. Esempi: fibrato tangente e cotangente di una varieta'. Fibrazione di Hopf. Sezioni di un fibrato. 1-forme differenziali. Il fibrato tangente di S^1 e' banale.

Martedi' 3/11/2009 9-11
Fibrati vettoriali: esempi, il fibrato tangente di S^3 e' banale. Algebra multilineare: prodotto tensoriale, tensori simmetrici e alternanti, p-forme differenziali. Operazioni con i fibrati: omomorfismi di fibrati, sottofibrati, fibrati quozienti, somma di Whitney, restrizione. Il fibrato normale di una sottovarieta' in una varieta'. Esempi.

Martedi' 10/11/2009 9-11
Fibrati vettoriali: fibrato quoziente, pull-back, prodotti tensoriali, alternanti, determinante, duale.
Il fibrato tautologico sullo spazio proiettivo reale.

Giovedi' 12/11/2009 16-18
Algebra esterna, prodotto esterno, p-forme differenziali, pull-back di forme. Differenziale esterno di funzioni. Differenziale esterno sulle forme e sue proprieta'.

Mercoledi' 18/11/2009 14-16
Forme differenziali, differenziale esterno, esistenza e unicita'. Pull-back di forme e compatibilita' con il differenziale esterno. Derivata di Lie di una p-forma rispetto ad un campo di vettori, definizione e proprieta'.

Mercoledi' 25/11/2009 14-16
Derivata di Lie di una p-forma rispetto ad un campo di vettori. Varieta' orientabili e orientazioni. Una varieta' di dimesione n e' orientabile se e solo se esiste un n-forma mai nulla. Integrazione di forme a supporto compatto su una varieta'.

Martedi' 1/12/2009 9-11
Orientazione di una varieta' con bordo. Teorema di Stokes. Formula di Gauss-Green nel piano. Teorema del punto fisso di Brouwer differenziabile. p-forme chiuse e p-forme esatte, coomologia di de Rham. Esempi. Omologia singolare: definizione.

Giovedi' 3/12/2009 16-18
Integrazione di p-forme su p-catene singolari lisce. Enunciato del teorema di de Rham. Lemma di Poincare'. Coomologia di de Rham di S^1. 

Martedi' 15/12/2009 9-11
Teorema di invarianza per omotopia per la coomologia di de Rham (enunciato). Successione esatta di Mayer - Vietoris (enunciato). Calcolo della coomologia di de Rham delle sfere, del toro, del toro bucato e di una superficie connessa compatta e orientata. Enunciato del teorema di dualita' di Poincare'.

Giovedi' 7/1/2010 16-18
Definizione di funzione olomorfa in piu' variabili complesse. Varieta' complesse: definizione ed esempi. Lo spazio proiettivo complesso, tori complessi. Funzioni olomorfe su varieta' complesse e tra varieta' complesse. Funzioni olomorfe tra tori complessi, classi di isomorfismo di tori complessi. Caso di dimensione 1. Definizione di gruppo di Lie complesso.

Mercoledi' 14/1/2010 14-16
Azioni di gruppi di Lie complessi su varieta' complesse. Azioni libere e proprie. Varieta' di Hopf. Varieta' di Iwasawa. Le varieta' complesse sono orientabili.