CORSO DI GEOMETRIA SUPERIORE

Anno Accademico 2008-2009
 
Registro delle lezioni

Lunedi' 2/3/2009 9-11
Serie di potenze formali in n variabili complesse. Serie di potenze convergenti. Lemma di Abel. Funzioni olomorfe in piu' variabili. Formula di Cauchy in  n variabili. Teorema di Osgood: una funzione continua su un polidisco chiuso olomorfa separatemante e' olomorfa. Teorema di Liouville e principio del massimo (senza dimostrazione).

Mercoledi'  4/3/2009 9-10
Teorema di Hartogs. Equazioni di Cauchy-Riemann. Una funzione di classe C^1 con differenziale C-lineare e' olomorfa. Teorema della funzione inversa, teorema del rango e teorema del Dini nelle versioni olomorfe.

Giovedi'  5/3/2009 11-13
Dimostrazione del teorema di preparazione di Weierstrass. Dimostrazione del teorema di estensione di Riemann.

Lunedi' 9/3/2009 9-12
L'anello O_n dei germi di funzioni olomorfe nell'origine e' un dominio a fattorizzazione unica. Teorema di divisione di Weierstrass. O_n e' un anello noetheriano. Conseguenze. Germi analitici. Ideale associato ad un germe nell'origine. Un germe analitico e' irriducibile se e solo se l'ideale associato e' primo. Definizione-teorema della dimensione di un germe analitico. Teorema degli zeri. 

Mercoledi' 11/3/2009 11-13
Conseguenze del teorema di preparazione di Weierstrass. Risultante di due polinomi in R[x], con R dominio a fattorizzazione unica. Funzioni meromorfe su un aperto di C^n. Definizione di varieta' complesse ed esempi: lo spazio proiettivo, tori complessi.

Lunedi' 16/3/2009 9-12
Esempi di varieta' complesse: curve piane lisce affini e proiettive. Scoppiamento di C^n nell'origine. Funzioni olomorfe su una varieta' complessa, applicazioni olomorfe tra varieta' complesse. Funzioni meromorfe su varieta' complesse. Funzioni olomorfe tra tori complessi. Spazio dei parametri per le strutture complesse su un toro. Varieta' di Hopf.

Lunedi' 23/3/2009 9-12
Azioni di gruppi su varieta' complesse. Gruppi di Lie complessi. Varieta' di Iwasawa e di Hopf. Sottovarieta' complesse e sottovarieta' analitiche. Fibrati vettoriali olomorfi. Omomorfismi tra fibrati.
Somma di fibrati, prodotto tensoriale, prodotto esterno, determinante di un fibrato, fibrato duale.
Esempi di fibrati: fibrato tautologico e fibrato iperpiano su P^n. Fibrato tangente olomorfo di una varieta' complessa. Fibrato cotangente olomorfo, fibrato delle p-forme olomorfe e fibrato canonico. Fibrato normale di una sottovarieta' complessa in una varieta' complessa. Formula di aggiunzione.

Mercoledi' 25/3/2009 11-13
Prefasci e fasci di gruppi. Esempi. Morfismi di (pre)fasci. Nucleo, conucleo, immagine. Fascio associato ad un prefascio. Esempi. Spiga di un fascio. Successione esatta di fasci. Esempi. Fascio delle sezioni olomorfe di un fibrato vettoriale olomorfo su una varieta' complessa. 

Lunedi' 30/3/2009 9-12
Coomologia di Cech: definizione, successione esatta lunga associata ad una successione esatta corta di fasci. Enunciato del teorema di Leray. Fasci fini. I fasci fini sono aciclici. Risoluzioni acicliche e teorema di de Rham astratto. Teorema di de Rham. Divisori di Weil su una varieta' complessa. Il divisore associato ad una funzione meromorfa. Divisori effettivi. 

Mercoledi' 1/4/2009 11-13
Divisori di Cartier e divisori di Weil. Fibrato in rette associato ad un divisore. Pull-back di un divisore. Equivalenza lineare.  Un divisore e' principale se e solo se il fibrato in rette ad esso associato e' banale. Sezioni olomorfe e meromorfe di un fibrato in rette e loro divisori.

Lunedi' 6/4/2009 9-12
Punti base di un fibrato in rette olomorfo su una varieta' complessa X. Applicazione olomorfa in P^n associata ad un sistema lineare, definita sul complementare dell'insieme dei punti base. Le sezioni olomorfe di O_P^n(k) con k>0 sono i polinomi omogenei di grado k in n+1 variabili. Se L e' un fibrato in rette olomorfo tale che sia L che L* hanno una sezione olomorfa non banale allora L e' isomorfo al fibrato banale. Fibrato canonico di P^n. Formula di aggiunzione per un'ipersuperficie liscia.
Fibrato tangente reale di una varieta' complessa, strutture quasi complesse.
 
Mercoledi' 8/4/2009 11-13
Forme di tipo (p,q), operatori d, \partial, \overline{partial}, pull-back di (p,q) - forme. Fibrato tangente olomorfo e fibrato tangente antiolomorfo. (p,q) forme a valori in un fibrato vettoriale olomorfo. Teorema di Dolbeault.

Mercoledi' 15/4/2009 11-13
Strutture Hermitiane su una varieta' complessa. Varieta' Kaehleriane. Esempi: metrica di Fubini-Study su P^n, tori complessi. Sottovarieta' complesse di varieta' Kaehleriane sono Kaehleriane. Le varieta' proiettive sono Kaehleriane. Enunciato del teorema di decomposizione di Hodge e di simmetria di Hodge per varieta' Kaehleriane compatte. Le varieta' di Hopf non sono Kaehleriane. Enunciato del teorema di Chow. Teorema di Leschetz sulle (1,1)-classi.