CORSO DI GEOMETRIA 2
Anno Accademico 2013-2014
Registro delle lezioni
Giovedi' 6/3/2014 9-11
Definizione
di varieta` differenziabile. Esempi: R^n, S^n. Proiezione
stereografica. Spazi proiettivi reali: proprieta' topologiche e
struttura di varieta' differenziabile.
Martedi' 11/3/2014 11-13
Lo spazio proiettivo reale P^n(R) come
quoziente della sfera S^n. Il
prodotto di due varieta' differenziabili e' una varieta'
differenziabile. Esempi. Applicazioni differenziabili da una varieta' a
valori reali e tra due varieta' differenziabili. Diffeomorfismi. La
retta proiettiva reale e' diffeomorfa a S^1. Lo spazio proiettivo
complesso P^n(C) e' una varieta' differenziabile di dimensione 2n.
Definizione di sottovarieta' di una varieta' differenziabile. Esempi.
Giovedi' 13/3/2014 9-11
Alcune
osservazioni sulla topologia quoziente. Il quoziente di uno spazio di
Hausdorff non e' in generale di Hausdorff. Esempi di sottavarieta'. Lo
spazio tangente ad una varieta' in un punto: definizione geometrica con
le curve. Il differenziale di un'applicazione differenziabile tra due
varieta'. Derivazioni.
Venerdi' 14/3/2014 10-11
Definizione algebrica di spazio tangente ad una varieta' in un punto con le derivazioni e sue proprieta'.
Giovedi' 20/3/2014 9-11
Equivalenza
delle due definizioni di spazio tangente. Differenziale di applicazioni
differenziabili tra varieta'. Esempi. Il teorema della funzione inversa
(solo enunciato). Teorema del rango (versione suriettiva).
Dimostrazione a partire dal teorema della funzione inversa.
Venerdi' 21/3/2014 10-11
Teorema del rango (versione iniettiva). Dimostrazione a partire dal teorema della funzione inversa. Teorema del Dini.
Martedi' 25/3/2014 11-13
Dimostrazione
del teorema della funzione inversa a partire dal teorema del Dini.
Immersioni e sottovarieta'. Embeddings. Esempio di immersione iniettiva
che non e' un embedding. Un'immersione iniettiva propria e'
un embedding.
Giovedi' 27/3/2014 9-11
Summersioni,
punti critici e valori critici. Enunciato del Lemma di Sard. Esercizi
su sottovarieta' e applicazioni differenziabili.
Venerdi' 28/3/2014 10-11
Esercizi
su varieta' differenziabili, punti critici e valori critici di
applicazioni differenziabili. O(n), SL(n, R) sono varieta'
differenziabili.
Martedi' 1/4/2014 11-13
La
retta proiettiva complessa e' diffeomorfa alla sfera. Superfici
regolari in R^3. Parametrizzazioni locali di superfici. Esempi: sfera,
toro.
Giovedi' 3/4/2014 9-11
Superfici di rotazione.
Esempi. Piano tangente ad una superficie immersa in R^3 come immagine
del differenziale di una parametrizzazione locale. Prima forma
fondamentale. Esempi.
Lunedi' 7/4/2014 14-16
Area
di un dominio regolare su una superficie regolare. Esempi.
Orientabilita' di una varieta' differenziabile. Esempi. Il caso delle
superfici regolari in R^3. Una superficie regolare e' orientabile
se e solo se ammette un campo di vettori differenziabile normale
unitario.
Martedi' 8/4/2014 11-13
Superfici
orientabili: esempi. Mappa di Gauss di una superficie orientata.
Differenziale della mappa di Gauss. Esempi: piano, sfera, cilindro,
quadriche.
Il differenziale della mappa di Gauss e'
autoaggiunto. Seconda forma fondamentale. Curvatura normale di una
curva su una superficie e seconda forma fondamentale. Teorema di
Meusnier.
Venerdi' 11/4/2014 9-11
Curvatura
normale di una curva su una superficie. Sezione normale. Esempi.
Curvature principali e direzioni principali di curvatura. Esempi:
piano, sfera, cilindro, paraboloide iperbolico. Linee di curvatura.
Curvatura Gaussiana e curvatura media. Punti ellittici, iperbolici,
parabolici e planari. Esempi.Punto ombilicali. Esempi.
Martedi' 15/4/2014 11-13
Espressione
della seconda forma fondamentale e del differenziale della mappa di
Gauss in coordinate locali. Calcolo in coordinate locali della
curvatura Gaussiana, media e delle curvature principali. Esempi ed
esercizi.
Giovedi' 24/4/2014 9-11
Esempi
ed esercizi: calcolo della curvatura e della natura dei punti nelle
superfici di rotazione. Seconda forma fondamentale per superfici date
come grafico.
Se in una superficie connessa S tutti i punti sono
ombilicali, allora S e' centenuta o in una sfera o in un piano.
Direzioni asintotiche e linee asintotiche. Indicatrice di Dupin.
Lunedi' 28/4/2014 14-16
In
un intorno sufficientemente piccolo di un punto ellittico una
superficie e' tutta contenuta da una parte rispetto al piano
tangente, mentre questo non accade in nessun intorno di un punto
iperbolico. Equazione differenziale delle linee di
curvatura. Isometrie (globali e locali). Esempi: il cilindro e'
localmente isometrico al piano.
Martedi' 29/4/2014 11-13
Simboli
di Christoffel di una superficie rispetto ad una parametrizzazione
locale. I simboli di Christoffel sono invarianti per isometrie locali.
Teorema Egregium di Gauss. Equazioni di Codazzi-Mainardi. Esercizi ed
esempi.
Lunedi' 5/5/2014 14-16
Esempio
di due superfici con stessa curvatura gaussiana in ogni punto ma non
localmente isometriche. La pseudosfera di Beltrami. Esercizi su
isometrie.
Martedi 6/5/2014 11-13
Esercizi
su isometrie. Campi di vettori tangenti su superfici. Derivata
covariante di un campo di vettori tangenti. Campi di vettori tangenti
lungo curve. Derivata covariante. Campi di vettori paralleli lungo
curve. Esempi.
Giovedi' 8/5/2014 9-11
Trasporto
parallelo. Geodetiche. Esempi di geodetiche: nelpiano, sulla sfera, sul
cilindro. Equazioni differenziali delle geodetiche in coordinate
locali. Esistenza ed unicita' locale delle geodetiche. Esercizi.
Lunedi' 12/5/2014 14-16
Esercizi
su derivata covariante e geodetiche. Geodetiche sulle superfici di
rotazione. Valore algebrico della derivata covariante. Curvatura
geodetica.
Martedi' 13/5/2014 11-13
Esercizi su geodetiche su superfici.
Giovedi' 15/5/2014 9-11
Angolo
tra due campi di vettori tangenti unitari lungo una curva
contenuta in una superficie orientata. Calcolo del valore algebrico
della derivata covariante di un campo di vettori tangenti unitario in
coordinate locali in termini dell' angolo formato con una delle curve
coordinate della parametrizzazione.
Curve chiuse, semplici, regolari a tratti contenute in una superficie orientata e angoli esterni nei vertici.
Venerdi' 16/5/2014 9-11
Dimostrazione
del teorema di Gauss-Bonnet locale. Triangolazione di una regione
regolare di una superficie. Caratteristica di Eulero Poincare' di una
regione regolare di una superficie.
Lunedi' 19/5/2014 14-16
Dimostrazione
del teorema di Gauss-Bonnet globale e sue conseguenze. Teorema di Gauss
sui triangoli geodetici. Una superficie compatta connessa
orientabile con curvatura gaussiana positiva in ogni punto
e' omeomorfa ad una sfera. Esercizi.
Martedi' 20/5/2014 11-13
Esercizi su geodetiche, Gauss-Bonnet, isometrie.
Giovedi' 22/5/2014 9-11
Esercizi su geodetiche, isometrie e su tutto il programma.
Martedi' 3/6/2014 11-13
Esercizi su varieta' differenziabili, punti critici e valori critici, geodetiche e isometrie.
Lunedi' 9/6/2014 14-16
Esercizi su varieta' differenziabili, spazi di matrici, curvatura gaussiana, Gauss-Bonnet.