CORSO DI GEOMETRIA 2

Anno Accademico 2011-2012
 
Registro delle lezioni

Lunedi' 5/3/2012 14-16
Definizione di varieta` differenziabile. Esempi: R^n, S^n. Proiezione stereografica. 

Martedi' 6/3/2012 14-16
Definizione della topologia quoziente e sue proprieta'.  Spazi proiettivi reali: proprieta' topologiche. Lo spazio proiettivo reale P^n(R) come quoziente della sfera S^n. Carte coordinate e struttura di varieta' differenziabile su P^n(R).

Mercoledi' 7/3/2012 14-16
Il prodotto di due varieta' differenziabili e' una varieta' differenziabile. Esempi. Applicazioni differenziabili da una varieta' a valori reali e tra due varieta' differenziabili. Diffeomorfismi. La retta proiettiva reale e' diffeomorfa a S^1. Lo spazio proiettivo complesso P^n(C) e' una varieta' differenziabile di dimensione 2n.

Lunedi' 12/3/2012 14-16
Definizione di sottovarieta' di una varieta' differenziabile. Esempi. Spazio tangente ad una varieta' in un suo punto: definizione geometrica con le curve.

Martedi' 13/3/2012 14-16
Differenziale di un'applicazione differenziabile tra due varieta' e sue proprieta'. Definizione algebrica dello spazio tangente ad una varieta' in un punto: derivazioni. Struttura di spazio vettoriale sullo spazio tangente e isomorfismo con lo spazio tangente definito con le curve.

Mercoledi' 14/3/2012 14-16
Definizione del differenziale di un'applicazione differenziabile tra due varieta' definito con le derivazioni e sua equivalenza con la definizione data con le curve. Esempi di calcolo del differenziale. Teorema della funzione inversa (solo enunciato). Teorema del rango in versione suriettiva.

Venerdi' 16/3/2010 9-10
Teorema del rango in versione iniettiva. Teorema del Dini o della funzione implicita.

Lunedi' 19/3/2012 14-16
Il teorema del Dini implica il teorema della funzione inversa. Immersioni e sottovarieta', embeddings. Summersioni. Punti regolari e punti critici. Valori regolari e critici. Enunciato del lemma di Sard. Esempi. 

Lunedi' 2/4/2012 14-16
Esercizi su immersioni ed embeddings. Superfici regolari in R^3. Parametrizzazioni locali. Esempi: diverse parametrizzazioni della sfera, quadriche in R^3.

Martedi' 3/4/2012 14-16
Esempi di superfici regolari: superfici di rotazione, toro di rivoluzione e sue parametrizzazioni locali. Piano tangente ad una superficie regolare in un punto. Espressione di una base in una parametrizzazione locale.

Mercoledi' 4/4/2012 14-16
Prima forma fondamentale. Esempi: piano, cilindro, superfici di rotazione, sfera nelle coordinate geografiche. Lunghezza d'arco di una curva regolare su una superficie. Area di domini regolari su una superficie.

Lunedi' 16/4/2012 14-16
Esempi di calcolo dell'area di un dominio regolare su una superficie. Orientabilita' di una varieta' differenziabile. Nel caso di una superficie in R^3 equivalenza dell'orientabilita' con l'esistenza di un campo di vettori normale unitario differenziabile. Esempi di varieta' orientabili.

Martedi' 17/4/2010 14-16
Il nastro di Moebius non e' orientabile. Definizione della mappa di Gauss su una superficie orientata. Esempi. Il differenziale della mappa di Gauss e'  un'applicazione lineare autoaggiunta dal tangente alla superficie in un punto in se'.

Mercoledi' 18/4/2012 14-16
Seconda forma fondamentale. Curatura normale di una curva su una superficie. Teorema di Meusnier.  Sezione normale di una superficie lungo un adirezione tangente e sua curvatura. Curvature principali e direzioni di curvatura. Curvatura Gaussiana, curvatura media e natura dei punti su una superficie. Esempi.

Venerdi' 20/4/2012 9-10
Linee di curvatura. Esempi. Punti ombelicali. Espressione del differenziale della mappa di Gauss e della seconda forma fondamentale tramite una parametrizzazione locale. Espressione in coordinate  locali della curvatura Gaussiana e della curvatura media.

Lunedi' 23/4/2012 14-16
Esercizi su I e II forma fonfdamentale e natura dei punti: toro, superfici di rotazione, grafici. Linee asintotiche. Indicatrice di Dupin.

Martedi' 24/4/2012 14-16
Se tutti i punti di una superficie connessa S sono ombelicali, allora o S e' contentuna in una sfera o in un piano. Comportamento locale di una superficie in un punto ellittico e in un punto iperbolico. Equazione differenziale delle linee di curvatura. Definizione di isometria.

Venerdi' 27/4/2012 9-10
Il cilindro e il piano sono localmente isometrici. Esempi di superfici rigate.

Mercoledi' 2/5/2012 14-16
Teorema Egregium di Gauss. Esercizi. Esempio di due superfici con la stessa curvatura gaussiana in ogni punto ma non localmante isometriche.

Venerdi'  4/5/2012 9-10
Esercizi su isometrie e  curvatura gaussiana.

Mercoledi' 16/5/2012 14-16
Esercizi: calcolo della  mappa di Gauss e della curvatura Gaussiana della pseudosfera di Beltrami. Esempi di superfici localmente isometriche: l'elicoide e il catenoide; il piano e il cono senza il vertice. Campi di vettori tangenti ad una superficie e derivata covariante rispetto ad un vettore tangente ad una curva.

Venerdi' 18/5/2012 9-10
Campi di vettori tangenti lungo una curva. Espressione della derivata covariante di un campo di vettori tangente lungo una curva in coordinate locali. Campi di vettori paralleli lungo una curva. Esempi.

Lunedi' 21/5/2012 14-16
Trasporto parallelo. Il trasporto parallelo e' un'isometria. Definizione di geodetica. Equazioni differenziali delle geodetiche in coordinate locali.  Esempi: le geodetiche sulla sfera e sul cilindro.

Lunedi' 28/5/2012 14-16
Geodetiche sulle superfici di rotazione. Valore algebrico della derivata covariante. Curvatura geodetica di una curva su una superficie orientata.
Esercizi.

Martedi' 28/5/2012 14-16
Esercizi su geodetiche, su linee di curvatura, su curvatura normale e curvatura geodetica di curve su superfici.

Mercoledi' 29/5/2012 14-16
Esempio: i paralleli sulla sfera sono curve con curvatura geodetica costante che sono anche linee di curvatura.
Definizione di angolo tra  due campi di vettori tangenti unitari differenziabili lungo una curva su una superficie ed espressione dei valori algebrici delle derivate covarianti dei campi di vettori in termini dell'angolo.  Espressione locale di questi valori algebrici in una parametrizzazione locale ortogonale di S.

Venerdi' 1/6/2012 9-10
Teorema di Gauss-Bonnet nella versione locale. Teorema di Gauss sui triangoli geodetici.

Lunedi' 4/6/2012 14-16
Triangolazioni di una regione regolare su una superficie regolare. Caratteristica di Eulero-Poincare' di una triangolazione. Enunciato del teorema di  classificazione topologica delle superfici compatte connesse e orientate. Teorema di Gauss-Bonnet nella versione globale.

Martedi' 5/6/2012 14-16
Conseguenze del teorema di Gauss-Bonnet. Esercizi sulle geodetiche e su Gauss-Bonnet.

Mercoledi' 6/6/2012 14-16
Esercizi su geodetiche, Gauss-Bonnet, isometrie, curve su superfici.

Venerdi' 7/6/2012 9-11
Esercizi su geodetiche, Gauss-Bonnet, isometrie, curve su superfici.