Il teorema dei numeri primi non dà una buona stima dell'errore

Tutto ciò che dice è che il rapporto

tende a zero per x tendente all'infinito. Nel 1899 de la Vallée Poussin dimostrò che per x abbastanza grande vale la stima

dove c è una opportuna costante. Che questa stima può essere grandemente migliorata è il contenuto dell'Ipotesi di Riemann (1859), forse il più importante problema insoluto in matematica. Questa congettura afferma quanto equivale a dire che esiste una costante k tale che, per x abbastanza grande, vale la stima