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Algebra 2 - anno 2013-14

Esercizi 5 (4/4/2014)

  1. Trovare il gruppo di Galois di X42 su Q, F3 e F7.
  2. Trovare i gruppi di Galois di X35 e di X3+5 su Q.
  3. Trovare il gruppo di Galois di X5+1 e X6+1 su Q.
  4. Mostrare che X6+3 è irriducibile su Q, ma non su Q[ζ], dove ζ è una radice sesta primitiva dell'unità.
  5. Sia L un campo di spezzamento di X413 su Q. Calcolare il gruppo di Galois di L su Q e trovare tutti i campi intermedi, individuando tra questi le estensioni normali di Q.
  6. Per ognuno dei seguenti polinomi si determini un campo di spezzamento su Q e si espliciti la corrispondenza di Galois.
    1. X34X+3
    2. X33X+3
    3. X39X9
  7. Sia K un campo di caratteristica prima p, poniamo P(X)=XpXη, dove ηK, e sia L un campo di spezzamento per P. Mostrare che, se α è una radice di P, le altre radici sono α+1,α+2,,α+p1. Mostrare che P si spezza completamente su K oppure è irriducibile in K[X], nel qual caso il gruppo di Galois di L su K è ciclico di ordine p.