Secondo quanto concordato durante gli incontri pomeridiani con gli insegnanti sperimentatori, la prima parte del progetto sarebbe stata svolta in classe. Erano infatti previste tre lezioni da due ore ciascuna e due da un’ora ciascuna, per un totale di otto ore, articolate nel seguente modo:
Prima lezione (2 ore) : i poliedri regolari;
Seconda lezione (2 ore) : la formula di Eulero;
Terza lezione (1 ora) : analisi di alcuni poliedri per i quali non vale la relazione di Eulero;
Quarta lezione (2 ore) : incontro con il Professor Marsilli, costruttore di poliedri;
Quinta lezione (1 ora) : legame tra poliedri e cristallografia (Professor Vitali).
Sono poi seguiti quattro incontri pomeridiani di approfondimento della durata di tre ore ciascuno, relativi a:
Cabri 3D
Cabri 3D
Poliedri, filosofia e cosmologia (lezione tenuta dal prof. Cardinetti, Dirigente del Liceo “Copernico” (PV))
Ricerca di un campo di validità della formula di Eulero e poliedri non euleriani: attività basata sul testo “Dimostrazioni e confutazioni. La logica della scoperta matematica” di Imre Lakatos.
I primi cinque incontri sono stati rivolti a tutti gli studenti delle classi coinvolte, mentre la partecipazione agli approfondimenti è stata su base volontaria.
Per lo svolgimento delle prime tre lezioni sono state preparate cinque schede di lavoro da consegnare agli studenti, dopo la loro suddivisione in gruppi composti da quattro o cinque alunni ciascuno. Di ogni scheda è stata preparata anche una versione per gli insegnanti, contenente in aggiunta alcune richieste e domande da rivolgere oralmente agli studenti.
Nei paragrafi che seguono si descrivono in dettaglio le schede di lavoro relative ai primi tre incontri.
2. I POLIEDRI REGOLARI
La prima lezione prevedeva l’uso delle seguenti tre schede di lavoro:
SCHEDA DI LAVORO N.1
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1.Costruite due solidi, utilizzando per ciascuno di essi un solo tipo dei poligoni colorati della scatola del Geomag: triangoli, quadrati, pentagoni. Tra i solidi costruiti ne riconoscete qualcuno? |
Dopo aver consegnato ad ogni gruppo una scatola di Geomag e dopo aver lasciato il tempo ad ognuno di “esplorare” le varie componenti di questo utile “gioco scientifico”, ogni gruppo avrebbe dovuto costruire due poliedri utilizzando un solo tipo di facce colorate tra triangoli equilateri, quadrati e pentagoni. La richiesta di usare solo i poligoni regolari, escludendo quindi la quarta tipologia di poligoni del Geomag, ossia i rombi, aveva lo scopo di far sì che in ogni gruppo venisse costruito almeno un poliedro regolare. L’aspettativa era che tutti avrebbero costruito il cubo e il tetraedro, senza però escludere l’eventualità che qualcuno avrebbe costruito anche poliedri non regolari.
Una volta costruiti i solidi richiesti, ogni gruppo avrebbe dovuto indicare sulla scheda i loro nomi, se noti. Tutti gli insegnanti erano concordi nel prevedere che da tutti i gruppi sarebbe stata scritta la parola “cubo”, solo da alcuni la parola “tetraedro”, che probabilmente sarebbe stato chiamato “piramide”.
Mentre la prima scheda per gli studenti presentava solo questa richiesta, la versione per gli insegnanti comprendeva anche alcune domande da rivolgere alla classe e le attività programmate:
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Ricordate la definizione di figura convessa? Tra i solidi costruiti ce ne sono di non convessi? Se non ci fossero farne costruire uno non convesso. Far scrivere sul quaderno la definizione di figura convessa. |
Questa fase è stata concordata considerando che, data la versatilità del materiale didattico a disposizione, sarebbe stato facile costruire anche solidi non convessi, presentandosi così all’insegnante l’opportunità di riconoscere e riformulare una fondamentale proprietà geometrica per le figure, la proprietà di convessità.
Ciò che ci si aspettava era che almeno qualche studente avrebbe ricordato la definizione di figura convessa, che solitamente si studia per l’ultima volta durante il biennio. Qualora nessun gruppo avesse costruito poliedri non convessi, ognuno avrebbe dovuto costruirne uno.
SCHEDA DI LAVORO N.2
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IN QUESTA ATTIVITA’ CI LIMITEREMO AI SOLIDI CONVESSI 1.Gli elementi che si distinguono in un poligono sono vertici, lati, angoli; in modo analogo quali elementi possiamo distinguere in un poliedro? |
Dopo aver costruito i solidi con il Geomag e aver stabilito, una volta appresa e fissata la definizione di figura convessa, che questa attività avrebbe trattato solo con i poliedri convessi, questa domanda aveva l’obiettivo di passare all’analisi degli elementi caratterizzanti di un poliedro. Mentre ci si aspettava che le parole “faccia”, “spigolo”, “vertice” e “angolo di una faccia” sarebbero state dette e scritte da ogni gruppo sulla base dell’analogia con i poligoni, alcune difficoltà sarebbero sorte nel ricordare la parola “diedro” e “angoloide”. Molto probabilmente alcuni gruppi avrebbero individuato e indicato questi ultimi elementi, senza però pronunciare o scrivere i termini esatti, che sarebbero quindi stati suggeriti dai docenti. Per queste motivazioni, la versione della scheda per gli insegnanti presentava la seguente richiesta:
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Chiedere la definizione di diedro e di angoloide. Se tale definizione non “esce” dagli studenti, invitarli a cercare tali definizioni sul loro libro di testo e riportarle sulla scheda. |
La ricerca delle definizioni sul libro di testo di questi elementi di un poliedro, che spesso gli studenti non ricordano, avrebbe permesso loro di focalizzarli e memorizzarli meglio.
SCHEDA DI LAVORO N.3
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Si dicono regolari i poliedri che verificano le seguenti proprietà:
1.Quali, secondo voi, tra i solidi costruiti sono regolari? |
La richiesta, data la definizione di poliedro regolare e nota la definizione di angoloide, di indicare quali, tra i solidi costruiti con il Geomag, fossero regolari, avrebbe permesso di verificare la capacità di ogni gruppo di associare concetti e termini fino a quel momento solo teorici a poliedri osservabili direttamente e “toccabili con mano”. Mentre nessuna difficoltà sarebbe sorta nel determinare se tutte le facce fossero poligoni regolari uguali, dal momento che la prima richiesta della scheda di lavoro n.1 prevedeva l’uso di un solo tipo di poligoni tra triangoli equilateri, quadrati e pentagoni, i dubbi si sarebbero potuti presentare nel verificare l’uguaglianza degli angoloidi.
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2.Provate a costruire un poliedro regolare con le facce esagonali. |
La richiesta, dopo aver distribuito degli esagoni di cartone, di provare a costruire un poliedro con le facce esagonali, avrebbe permesso ad ogni gruppo di verificare direttamente che in realtà questa costruzione non è realizzabile. Tutti i gruppi avrebbero cercato in ogni modo di costruire il poliedro, dando forse per scontata la possibilità della sua creazione. Una volta constatata, eventualmente con la guida dell’insegnante, l’impossibilità di tale realizzazione, il passo successivo sarebbe quindi stato quello di sollecitare la ragione di questo fatto, cercando di pensare al numero minimo e massimo di facce che possono concorrere ad ogni vertice di un poliedro per formare un angoloide.
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3.Trovate altri poliedri regolari? |
Quest’ultima domanda avrebbe completato la tipologia dei cinque poliedri regolari. La spiegazione del motivo dell’impossibilità di costruire un poliedro con le facce esagonali avrebbe permesso a tutti di comprendere il perché dell’esistenza di solo cinque poliedri regolari. Per quanto riguarda la terminologia relativa, si prevedeva che solo pochi o, nella peggiore delle ipotesi, nessuno avrebbe ricordato i termini “ottaedro”, ”dodecaedro” e “icosaedro”: sarebbe stata dunque questa l’occasione per puntualizzare i nomi adeguati.
3. LA FORMULA DI EULERO
La seconda lezione prevedeva l’uso di una sola scheda di lavoro articolata nel seguente modo:
SCHEDA DI LAVORO N.4
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Appresa l’esistenza di cinque poliedri regolari e note le loro principali proprietà e caratteristiche, ogni gruppo avrebbe saputo costruire questi cinque solidi utilizzando triangoli equilateri, quadrati e pentagoni che sarebbero stati loro consegnati insieme a del nastro adesivo per collegare tra loro le facce. In un secondo momento, ogni gruppo avrebbe costruito due poliedri non regolari utilizzando liberamente facce qualsiasi del Geomag.
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POLIEDRO |
N. FACCE |
N. VERTICI |
N. SPIGOLI |
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CUBO |
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TETRAEDRO |
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OTTAEDRO |
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DODECAEDRO |
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ICOSAEDRO |
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Notate qualche relazione tra i numeri inseriti in tabella? |
Costruiti i solidi, ogni gruppo avrebbe dovuto contare il numero di facce, vertici e spigoli dei cinque poliedri regolari e di tutti i poliedri non regolari costruiti con il Geomag, riportando i dati in questa tabella e cercando di ricavare una relazione tra essi. Probabilmente, nessuno avrebbe ricordato la formula di Eulero V + F – S = 2, che viene solitamente studiata per l’ultima volta nelle scuole medie inferiori. Qualora nessuno avesse ricavato la relazione, gli insegnanti avrebbero potuto dare suggerimenti e aiuti.
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Definizione di superficie poliedrica: è l’unione finita di poligoni disposti in modo che:
I poligoni si dicono facce della superficie poliedrica e i vertici, i lati, gli angoli dei poligoni si dicono vertici, spigoli, angoli della superficie poliedrica. |
In questa definizione, per “poligono” si intende una figura piana limitata da una spezzata chiusa e topologicamente equivalente a un disco: questa osservazione non sarebbe stata certo presentata in classe, almeno in questa fase iniziale. Essa risulta però essenziale se non si vuole incorrere negli esempi di “poliedri” citati da Lakatos (si veda il Capitolo 3).
4. ESEMPI E CONTROESEMPI
La terza lezione, infine, prevedeva l’uso di una scheda di lavoro, la quinta e ultima preparata:
SCHEDA DI LAVORO N.5
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Con il lavoro della scheda precedente si è scoperto che per i poliedri esaminati, indicando con V il numero dei vertici, F quello delle facce e S quello degli spigoli, vale la seguente formula:
F + V – S = 2 FORMULA DI EULERO
Controllate la validità della formula in altri casi meno usuali e completando la seguente tabella: |
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SOLIDO |
N° VERTICI |
N° FACCE |
N° SPIGOLI |
VALE EULERO? |
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Poliedro non convesso (Geomag) |
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Poliedro azzurro (con un buco) |
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Poliedro verde (“torsolo”) |
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Ricordata la formula di Eulero ricavata nella lezione precedente, in questa scheda sarebbero stati analizzati alcuni solidi per i quali non vale la relazione euleriana.
Dopo aver fatto costruire ad ogni gruppo un poliedro concavo con il Geomag e aver distribuito un solido azzurro con un buco centrale e uno verde a forma di torsolo, dotato anch’esso di un buco, ogni gruppo avrebbe dovuto contare, come nella scheda n.4, il numero di vertici, facce e spigoli di questi poliedri, verificando la validità della formula di Eulero.
Una volta stabilita la validità della relazione per il poliedro concavo, tutti avrebbero dovuto osservare che per i solidi con il buco V + F – S = 0.
A questo punto, l’aspettativa era che qualcuno osservasse che, poiché ciò che differenzia questi ultimi due poliedri dal primo è la presenza di un buco, questo sarebbe stata la causa della non validità della formula. Ogni insegnante avrebbe quindi presentato un ottaedro dal quale è possibile eliminare le punte e il corpo centrale, facendo osservare che proprio la formazione del buco fa cadere la formula di Eulero, sostituendo al numero 2 il numero 0.