Poliedri: non solo geometria

Docenti universitari coinvolti: Angela Pesci, Enrico Vitali.

L'attività di questo “laboratorio” si propone di avvicinare gli studenti a un tema, la geometria dello spazio, poco diffuso nella programmazione didattica, nonostante il carattere “concreto” che sembra vantare a confronto con altri settori della matematica.

Un punto di partenza naturale è costituito dalle figure solide ad elevata simmetria (i poliedri regolari), che fin dalle origini della matematica hanno suscitato interesse per le loro peculiarità. Una molteplicità di percorsi si può dipanare attorno a questo argomento, coinvolgendo fattivamente studenti e docenti; citiamo, ad esempio:

- l'indagine storica dell'evoluzione delle conoscenze di queste particolari figure geometriche, e del loro rapporto con altre discipline: dalla metafisica del Timeo di Platone alle elaborazioni degli alchimisti, dall'arte di Piero della Francesca all'utilizzo dei solidi platonici in meccanica celeste ad opera di Keplero.

- la caratterizzazione della classe dei poliedri regolari e lo studio delle loro principali proprietà; in questa fase, seguendo una linea di recupero della manualità geometrica, un ruolo rilevante può essere svolto dalla costruzione concreta di modelli tridimensionali (scheletrici, di carta, ecc.), che permettono la visualizzazione e l'acquisizione di consapevolezza di tante proprietà che altrimenti resterebbero ignorate. Nella stessa direzione va l'utilizzo di software grafico per la costruzione e la manipolazione delle figure spaziali.

- l'estensione dello studio a classi di poliedri in cui vengano indebolite le proprietà di regolarità (poliedri semiregolari, composti regolari, poliedri stellati, ecc.). In quest'ambito ben si inserisce il concetto di dualità fra poliedri (polarità rispetto ad una sfera).

- la verifica empirica della validità della relazione di Eulero per poliedri convessi e una sua possibile dimostrazione matematica; se ricordiamo come la prima fase di sviluppo della topologia (Analysis situs) si identifica con lo sviluppo della relazione di Eulero, questa attività può dare spunto ad una discussione sulla differenza fra proprietà che coinvolgono grandezze e loro misura e proprietà che dipendono solo da considerazioni qualitative riguardanti la posizione degli oggetti geometrici.

- il problema della tassellazione dello spazio, come può essere incontrato, ad esempio, nella costruzione dei cristalli; assume qui un ruolo importante la ricerca degli elementi di simmetria della cella poliedrale di periodicità.

- quest'ultimo argomento può costituire il punto di partenza per un approfondimento delle simmetrie in strutture naturali riconducibili a poliedri, come le strutture molecolari. Un passaggio naturale che si ricollega allo studio, già noto agli studenti, delle trasformazioni piane, può portare all'introduzione del concetto di gruppo in connessione all'insieme delle isometrie di un poliedro. Per un'illustrazione concreta si attinge ad esempi significativi legati a molecole specifiche (si pensi, ad esempio, alla struttura piramidale dell'ammoniaca).

All'interno di questa varietà di proposte il percorso effettivo potrà essere scelto in relazione agli interessi suscitati nei vari soggetti coinvolti.