Gruppi di Lie e spazi (localmente) simmetrici
Corso di dottorato in Matematica, Università di Pavia, anno accademico 2021-2022
Orario
Martedì 14:00-16:00, Aula Riunioni piano C, Dipartimento di Matematica
Giovedì 14:00-16:00, Aula Riunioni piano C, Dipartimento di Matematica
Link Zoom
Meeting ID: 723 785 7087
Passcode: 976480
Testi di riferimento
Paulin Gruppi di Lie
Morris Reticoli
Registrazioni delle lezioni
Link alla cartella condivisa di Google Drive
Lezione 1: Introduzione, Gruppi di Lie: definizione e prime proprietà, morfismi, immersioni ed embedding, sottogruppi chiusi e immersi. Primi esempi.
Lezione 2: Gruppi di Lie lineari reali, complessi e quaternionici. Gruppi classici.
Lezione 3: Algebre di Lie. Esempi. Rappresentazioni di algebre di Lie. Derivzioni di algebre di Lie. Derivazioni interne. Rappresentazione aggiunta. Forma di Killing.
Lezione 4: Campi vettoriali su varietà lisce. Algebra di Lie di un gruppo di Lie. Rappresentazione aggiunta di un gruppo di Lie. Esponenziale di matrici. Algebra di Lie di un gruppo lineare.
Lezione 5: Morfismo indotto su algebre di Lie. Invarianza della forma di Killing per automorfismi. Ideali. Normalizzatori e centralizzatori. Bracket di ideali. Algebra derivata. Algebre nilpotenti e risolubili. Algebre di Lie semplici e semisemplici.
Lezione 6: Criterio di semisemplicità di Cartan. Un'algebra di Lie semisemplice ha centro banale ed è isomorfa all'algebra delle sue derivazioni.
Lezione 7: Azioni lisce. Orbite e stabilizzatori. Le classi laterali di un sottogruppo chiuso di un gruppo di Lie costituiscono una varietà liscia.
Lezione 8: Esemi di spazi omogenei: spazio euclideo, sfera, semipiano di Poincarè, spazio iperbolico. Isomorfismo eccezionale tra PSL(2,R) e PSO(2,1,R). Varietà Riemanniane e rappresentazione di isotropia. Spazi simmetrici e localmente simmetrici.
Lezione 9: Gli spazi simmetrici determinano un gruppo di Lie G, un sottogruppo compatto K di G e un automorfismo involutivo s di G. Esempi. Applicazione esponenziale. Sottogruppi a un parametro. K è aperto nel centralizzatore di s. La quaterna (G,K,s,g), dove g è una metrica G-invariante su G/K determina una struttura di spazio simmetrico.
Lezione 10: Misura di Haar. Funzione modulare. Gruppi unimodulari. Gruppi compatti e semisemplici sono unimodulari. Esistenza della metrica G-invariante g su G/K.
Lezione 11: Involuzioni di Cartan e coppie di Cartan. Esempio: gruppi speciali lineari.
Lezione 12: Reticoli. Esempi. SL(2,Z) è un reticolo in SL(2,R). Gruppi algebrici lineari. Esempi. Teorema di Borel e Harish-Chandra.
Lezione 13. Reticoli aritmetici: definizione. Restrizione degli scalari e applicazioni alla costruzione di reticoli aritmetici. Cenni al teorema di aritmeticità di Margulis,