Problemi di algebra lineare numerica e segnatamente la soluzione di
sistemi lineari di elevatissime dimensioni sono un normale passo intermedio quando
si voglia descrivere quantitativamente fenomeni complessi, modellati da equazioni
nel continuo, ad esempio integrali e/o differenziali, o gia` direttamente nel
discreto, come accade nel trattamento di segnali, di immagini o per problemi su
grafi.

Con le dimensioni tipiche in tali contesti, 10^10 ad esempio nel problema del
web-ranking di Google, l'uso di tecniche dirette e` sconsigliato sia per motivi
di stabilita` numerica, crescita degli errori dovuti alla finitezza della
precisione di macchina, sia di costo computazionale complessivo.  La comunita`
numerica ha dunque indicato nei metodi iterativi un possibile modo per superare tali
difficolta` ed i motivi sono i seguenti: i metodi iterativi rispettano la
struttura del problema, portando ad una contrazione del costo computazionale del
prodotto matrice-vettore, riducono il calcolo della soluzione approssimata ad un
numero finito di passi in cui l'operazione piu`  costosa e` proprio il prodotto
matrice-vettore, l'analisi di tale numero di passi necessari a garantire la
precisione desiderata e` possibile se si conoscono proprieta`  spettrali delle
matrici coinvolte.
In questa comunicazione si sceglie una classe di problemi ` shift invariant'
(Toeplitz) o riconducibile al caso `shift invariant' e si discutono alcuni risultati
significativi degli ultimi trenta anni. In particolare si analizzano criticamente i
risultati ottenuti in ambito multigrid ed in ambito di precondizionamento, in
termini di costo computazionale complessivo ed in particolare in termini delle
proprieta` spettrali delle strutture matriciali coinvolte.

In questa direzione si fa menzione alla classe di successioni di matrici  localmente
Toeplitz generalizzate, GLT, che forniscono un ambito nel quale  l'analisi spettrale
puo`  essere naturalmente ricondotta alla individuazione di un simbolo, che a sua
volta porta informazioni dal problema continuo o discreto di provenienza. L'algebra
GLT e` di interesse poiche' contiene strutture provenienti da un ricco ambito di
applicazioni ed in particolare contiene le successioni di matrici di Toeplitz
associate ad un simbolo e virtualmente ogni approssimazione con metodi `locali'
(differenze finite, elementi finiti, volumi finiti) di operatori integrali e
differenziali con coefficienti variabili.

Cenni ad alcune applicazioni sono presenti nella esposizione per dare evidenza
tangibile dei risultati ottenibili e delle tecniche discusse.