Una varieta` Riemanniana (possibilmente con bordo)
e` dotata di un operatore lineare ellittico naturale, espresso in forma di
divergenza, e chiamato operatore di Laplace-Beltrami. Quando la
varieta` e` l'usuale spazio Euclideo, esso si riduce al consueto
Laplaciano.
Lo studio della famiglia delle funzioni armoniche sulle varieta`
rispetto a detto operatore costituisce il dominio della sua teoria
del potenziale.
Un problema classico dell'analisi complessa sulle superfici di
Riemann 2-dimensionali, affrontato sistematicamente da Ahlfors,
Sario, Nevanlinna per citare alcuni, si occupa di comprendere il tipo
conforme di una superficie assegnata. Poiche' l'armonicita` e` un
invariante conforme in dimensione 2, la teoria del potenziale appare
come uno strumento fondamentale per la soluzione del problema. In
questo contesto, nasce la nozione di superficie parabolica, ovvero
una superficie il cui Laplaciano non possiede un nucleo di Green
minimale e positivo.
Ovviamente, la definizione si estende a qualsiasi dimensione e, pur
perdendo il suo contenuto conforme, diviene la nozione cardine della
teoria del potenziale su una generica varieta`. La parabolicita` di una
varieta` Riemanniana completa e` intimamente legata alla geometria
dello spazio. Il legame si manifesta ad esempio a livello della
crescita dei volumi delle bolle metriche centrate in un punto
fissato.
Da molti punti di vista, e in una prospettiva diversa da quella
originaria delle superfici di Riemann, la parabolicita` di una varieta`
Riemanniana puo` essere pensata come un naturale sostituto della
compattezza.
Nel seminario ci proponiamo di illustrare questa affermazione
fornendo alcune caratterizzazioni della parabolicita` attraverso
proprieta` tipiche degli spazi compatti. Se il tempo lo permettera`,
applicheremo queste caratterizzazioni al fine di estendere a contesti
non compatti l'indagine sui grafici a curvatura media assegnata
dentro spazi prodotto.