Dinamica di travi e piastre viscoelastiche: aspetti modellistici ed analitici

Il comportamento asintotico delle soluzioni in solidi viscoelastici lineari
dipende strettamente dal modo con cui decade il nucleo di memoria. Recentemente,
nel caso di nuclei di memoria con decadimento esponenziale, il corrispondente 
sistema evolutivo e' stato rappresentato mediante un semigruppo dissipativo e 
studiato con tecniche del tipo stime in energia che permettono di trattare anche 
termini di sorgente (forze esterne) non lineari (G.-Rivera-Pata [1]). 
E' aperto il problema, interessante dal punto di vista applicativo, se anche in 
modelli di dimensione inferiore a 3, cioe' per travi e piastre viscoelastiche, 
sussista la medesima possibilita'. 
In questo seminario si affrontano due aspetti. 
Il primo e' quello della corretta modellazione: per ciscuna delle ipotesi di 
approssimazione che conducono agli omonimi modelli nel caso elastico 
(Eulero-Bernoulli, Kirchhoff, Mindlin-Timoshenko) vengono determinati i 
corrispondenti viscoelastici per mezzo di tecniche dirette (Drozdov-Kolmanovski) 
o di tipo variazionale (Lagnese-Lions [2]). Le prime sono particolarmente 
adatte a trattare problemi unidimensionali non lineari, compresa l'estensione
viscoelastica del problema di Woinovski-Krieger (moto trasversale della trave 
debolmente estendibile). Mediante un'estensione delle tecniche variazionali 
usate in [2], si determinano modelli di piastre viscoelastiche e termoviscoelastiche, 
sia di tipo Kirchhoff [3], sia di tipo Mindlin-Timoshenko. 
Il secondo aspetto riguarda il decadimento delle soluzioni per i corrispondenti
sistemi evolutivi (iperbolici, con memoria): utilizzando le tecniche di [1], si 
ottengono risultati analoghi al caso tridimensionale. In particolare, in [4] si 
giustificano e si generalizzano recenti risultati di Ammar-Khodja, Benabdallah, 
Rivera e Racke, nel caso unidimensionale.

Bibliografia

[1] C. Giorgi, J.E. Munoz Rivera, V. Pata, Attractors for a semilinear hyperbolic 
equation in viscoelasticity, J. Math. Anal. Appl., 260, (2001), 83-99.

[2] J. Lagnese, J.L. Lions, Modelling analysis and control of thin plates,
Research in Applied Mathematics 6, Masson, Paris, 1988

[3] C. Giorgi, M.G. Naso, Mathematical models of thin thermoviscoelastic plates, 
Quart. J. Mech. Appl. Math., 53 (2000) 363-374.

[4]  C. Giorgi, F.M. Vegni, On the dissipative semigroup associated to the semilinear 
Mindlin-Timoshenko beam with memory, Quad. Sem. Mat. Brescia, 16/2002