Elisabetta
Rocca. Corso di Analisi Matematica 1 (cdl in Matematica) .
Calendario delle lezioni (Anno
Accademico 2012/2013):
03 ottobre 2011 (2 ore): Presentazione del
corso. Rappresentazione decimale dei numeri razionali e reali.
Ordinamento nei reali. Intervalli. Teorema di densita' (con dim).
Definizioni di sup, inf, massimo e minimo. Enunciato del teorema di
completezza di R.
04 ottobre 2011 (2 ore) : Dimostrazione del
teorema di completezza di R. Teorema dell'elemento separatore (senza
dim.). Operazioni di somma e prodotto in R. R e' un campo archimedeo.
Esercizi su sup, inf, max e min.
05 ottobre 2011 (2 ore):Introduzione della
radice ennesima, potenze con esponenti razionali e reali, logaritmi.
Definizione di funzione. Esempi di grafici di funzioni elementari.
Composizione di funzioni. Definizione di
funzione biunivoca, inversa, monotona e strettamente monotona. Esercizi
su inverse e disequazioni e sup e inf di insiemi.
10 ottobre 2011 (2 ore): Introduzione al campo
dei complessi. Operazioni di somma e prodotto, elementi neutri, opposto
e reciproco. R e' isomorfo a un sottocampo di C. Forma algebrica dei
numeri complessi. Definizione di modulo, coniugio e loro proprieta'.
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica
ed esponenziale dei numeri complessi. Proprieta' dell'esponenziale
complessa (con dim.). Formula di de Moivre (con dim.). Esempi.
11 ottobre 2012 (2 ore): Il Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim.). Radici di numeri complessi (con dim.). Esercizi sui numeri complessi.
12 ottobre 2012 (2 ore): Definizione
di cardinalita' o potenza. Insiemi equipotenti, insiemi numerabili.
Teoremi su sottoinsiemi di insiemi numerabili (con dim.). Z e Q sono
numerabili (con dim). R e' equipotente a (0,1) e (0,1). Teorema di
Cantor (con dim.). Proprieta' degli insiemi infiniti. Cardinalita'
dell'insieme delle parti di N (con dim.). Cardinalita' degli insiemi
delle parti di X. Esercizi sui numeri complessi.
17 ottobre 2012 (2 ore):
Definizione di Spazio Metrico. Gli spazi euclidei. Distanze ed intorni
in R, R^N, nello spazio delle funzioni limitate. Eserczi sui numeri
complessi.
18 ottobre 2012 (2 ore):
Definizione di punti interni, esterni, frontiera. Esempi. Definizione
di punto di accumulazione ed isolato. Cartatterizzazione dei punti di
accumulazione (con dim.). Esempi. Definizione di chiusi ed aperti.
Caratterizzazione dei chiusi in spazi metrici (con dim.). Unione e
intersezione di chiusi ed aperti (con dim.).
19 ottobre 2012 (2 ore): Definizione
di chiusura e proprieta' (con dim.). Definizione di insieme limitato e
diametro e proprieta' (con dim.). Esercizi sul calcolo di chiusura,
interno, derivato di insiemi.
23 ottobre 2012 (2 ore):
Compattezza in spazi metrici. Esempi. Condizioni necessarie (con dim.)
e sufficienti. Teorema di Heine-Borel (senza dim.). Teorema di Bolzano
Weierstrass (con dim.). Esercizi su spazi metrici.
25 ottobre 2012 (2 ore):
Compattezza di chiusi contenuti in compatti (con dim.). Intersezione di
compatti incapsulati (con dim.). Successioni in spazi metrici.
Definizione di successione convergente, limitata e legami (con dim.).
Unicita' del limite (con dim.). Esempi. Definizione di successione
divergente, oscillante in R. Esempi. Definizione di successioni
convergenti da destra e da sinistra in R.
26 ottobre 2012 (2 ore): Definizione
di intorni e convergenza in R esteso. Esempi. Unicita' del limite.
Limite di sottosuccessioni di successioni divergenti. Teorema della
permanenza del segno e del confronto per successioni (con dim.).
Calcolo dei limiti di sen(x_n)/x_n, 1-cos(x_n)/x_n^2, per x_n
infinitesima. Limite della somma, prodotto, quoziente per successioni
convergenti.
Limiti di successioni nella retta estesa. Esempi. Successioni monotone.
Teorema fondamentale per successioni monotone (con dim.).
30 ottobre 2012 (2 ore): Esercizi di ricapitolazione.
6 novembre 2012 (2 ore):
Risoluzioni di forme indeterminate nel calcolo di limiti per
successioni. Definizione di costante di Nepero. Criterio del rapporto
per successioni. Esercizi.
8 novembre 2012 (2 ore):
Dimostrazione della bonta' della definizione della costante di Nepero.
Dimostrazione del criterio del rapporto per successioni. Definizione di
o piccolo ed asintotico. Proprieta' ed esempi. Esercizi sul calcolo di
limiti di successioni.
9 novembre 2012 (2 ore):
Definizione di O grande, stesso ordine di grandezza. Esercizi.
Successioni in R^k. Condizione di Cauchy per successioni. Definizione
di spazio metrico completo.
13 novembre 2012 (2 ore):
Definizione di classe limite. Proprieta' della classe limite (con
dim.). Esercizi sul calcolo di limsup e liminf. Proprieta' di limsup e
liminf (con dim.).
15 novembre 2012 (2 ore):
Definizione di serie, convergenza di serie. Esempi. Condizione di
Cauchy per le serie (con dim.). Condizione necessaria per convergenza
delle serie. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a
termini positivi (con dim.). Esercizi su successioni.
16 novembre 2012 (2 ore):
Criteri della radice e del rapporto e generalizzazioni del criterio del
rapporto e della radice (con dim.). Esercizi di riepilogo.
27 novembre 2012 (2 ore):
Teorema di condensazione. Dimostrazione di convergenza di serie
armoniche generalizzate. Criterio di Leibnitz (con dimostrazione). Convergenza incondizionata. Prodotto alla Cauchy. Esempi.
29 novembre 2012 (2 ore):
Definizione di limite. Proprieta'. Teorema del confronto. Teorema della
permanenza del segno (con dimostrazione). Confronto con limiti di
successioni. Esercizi sulla convergenza di serie.
30 novembre 2012 (2 ore): Calcolo di limiti di funzioni. Asintotico per funzioni. Ordine d'infinitesimo e di infinito. Asintoti. Esercizi.
4 dicembre 2012 (2 ore) (turni riuniti): Definizione di funzione continua. Proprieta' (con dim).
5 dicembre 2012 (2 ore) (turni riuniti): Teorema di compattezza per funzioni continue (con dim.) ed esempi.
12 dicembre 2012 (2 ore): Teorema di Weiestrass (con dim.). Teorema degli zeri (con dim.). Teorema
di Darboux (con dim.). Teorema dei valori intermedi (con dim.). Esempi.
Discontinuita'. Esempi. Discontinuita' per funzioni monotone. Inversa di
funzioni continue su compatto e su intervalli (con dim.).
13 dicembre 2012 (2 ore):
Definizione di funzione uniformemente continua e Lipschitziana, esempi.
Teorema di Heine-Cantor (con dim. ). Definizione di derivata e
differenziale. Derivate di funzioni elementari. Punti di non
derivabilita'. Prime proprieta' delle funzioni derivabili (con dim.).
14 dicembre 2012 (2 ore) (turni riuniti): Esercizi di riepilogo su serie, continuita', limiti e asintoti.
18 dicembre 2012 (2 ore):
Derivata della composta e dell'inversa (con dim.). Teorema di Fermat
(con dim.). Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy (con dim.) e
controesempi. Conseguenze: funzioni con derivata 0 su intervalli,
monotonia e segno della derivata. Esempi.
20 dicembre 2012 (2 ore): Legami tra rapporto incrementale e monotonia e uniforme continuita'. Continuita' della funzione derivata (con dim.). Esercizi.
21 dicembre 2012 (2 ore): Il Teorema di de l'Hospital (con dim.). Esercizi.
8 gennaio 2013 (2 ore):
Sviluppo di Taylor con resto di Peano (con dim.). Esempi. Sviluppo di
Taylor con resto di Lagrange (senza dim.). Esempi. La costante di
Nepero non e' razionale. Esercizi.
10 gennaio 2013 (2ore): Sviluppo
in serie di Taylor per funzioni elementari. Definizione di
convessita'/concavita'. Rapporto incrementale e convessita' (con dim.).
Segno della derivata seconda e convessita' (con dim.). Regolarita' di
funzioni convesse: continuita' (con dim.), infinita' numerabile di
punti angolosi (senza dim.).
15 gennaio 2013 (2 ore):
Confronto tra funzioni convesse e rette tangenti (con dim.).
Definizioni di flesso. Esempi. Criterio della derivata seconda (con
dim.) ed ennesima.
17 gennaio 2013 (2 ore): Esercizi su convessita' e montonia di funzioni e su calcolo di somme di serie.
