- 02 novembre 2010 (2 ore): Presentazione
del corso, Definizione di successione (reale), Definizione di
successione convergente, Esempi, Le successioni convergenti sono
limitate (con dimostrazione), Definizione di successione inferiormente
e superiormente limitata, Definizione di successione divergente a +
infinito e a - infinito, Esempi, Definizione di successioni monotone,
Il Teorema fondamentale delle successioni monotone (senza
dimostrazione), Il calcolo dei limiti di somma, prodotto (con
dimostrazione), quoziente, potenze. Le forme indeterminate, alcuni
esercizi per la loro risoluzione.
- 05 novembre 2010 (2 ore): Unicita'
del limite di successionii (con dimostrazione). Teoremi del confronto
(senza dimostrazioni). Confronti tra infiniti e infinitesimi, Limiti
notevoli. Definizione del numero di Nepero (senza dimostrazioni). Esercizi.
- 08 novembre 2010 (1 ora): Definizione
di limite di funzioni, limite destro e sinistro. Unicita' del limite.
Esempi. Definizione di funzione continua. Esempi. Tipi di
discontinuita'.
- 09 novembre 2010 (1 ora): Continuita'
delle funzioni elementari, di somma, prodotto, composta ed inversa di
funzioni continue (senza dimostrazione). Esempi di funzioni
discontinue. Risoluzioni di forme indeterminate: quozienti di polinomi,
senx/x (con dimostrazione), (1+1/x)^x (da cui log(1+x)/x, (e^x-1)/x).
- 10 novembre 2010 (2 ore):
Calcolo del limite di (1-cos x)/x^2. Esercizi su calcolo dei limiti.
Definizioni di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo. Esempi.
Teorema di Weiestrass (senza dimostrazione), dei valori intermedi (senza dimostrazione) e degli zeri (senza dimostrazione). Applicazioni alla ricerca di zeri di polinomi.
- 11 novembre 2010 (2 ore):
Definizione e significato geometrico e fisico di derivata. Definizione
di funzione derivabile e funzione deriata. Calcolo di derivate di
funzioni elementari. Punti di non derivabilita': angoloso, a tg
verticale e cuspide. Dimostrazione del fatto che derivabile implica
continua. Esempi. Derivata della somma, prodotto (con dimostrazione),
composta, inversa (senza dimostrazioni). Esercizi.
- 12
novembre 2010 (2 ore): Teorema di de l'Hospital (senza dimostrazione).
Applicazioni al calcolo di limiti in caso di forme indeterminate.
Risoluzione della forma indeterminata (1+x)^\alpha-1/x per x xhe tende
a 0. Definizioni di massimo e minimo locali, estremi locali, punti
stazionari. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Lagrange
o del valor medio ( con dimostrazione). Applicazioni ai legami tra
segno della derivata e monotonia. Esercizi su ricerca di massimi e
minimi.
- 23 novembre 2010 (1 ora): Esercizi su studio di funzione, monotonia e di ripasso su successioni e zeri di polinomi.
- 24 novembre 2010 (2 ore):
Definizione di derivata seconda, funzione convessa e concava, legami
tra segno della derivata seconda e convessita' (senza dimostrazioni).
Definizione di punto di flesso e lagami con la derivata seconda (senza
dimostrazione). Esercizi. Sviluppo di Taylor (o Mc-Laurin) con resti di
Lagrange e Peano al second'ordine (senza dimostrazioni). Sviluppo
dell'esponenziale in 0.
- 25 novembre 2010 (2 ore):
Richiami sullo sviluppo di Taylor (e Mac-Laurin) del second'ordine.
Sviluppi di coseno e seno. Sviluppo di Taylor all'ordine n con resti di
Lagrange e Peano (senza dimostrazioni). Caratterizzazioni di funzioni
convesse e concave tramite rette tangenti. Esercizi sulla risoluzione
di forme indeterminate. Esercizi sulla verifica di continuita' di
funzioni al variare di parametri. Esercizi su calcolo della derivata
della funzione inversa.
- 26 novembre 2010 (2 ore):
Definizione di primitiva. Definizione di integrale indefinito. Esempio
di funzione discontinua che non ha primitiva. Linearita'
dell'integrale. Esempi. Formule di integrazione per parti e
sostituzione (con dimostrazioni).
- 30 novembre 2010 (1 ora): Richiami delle formule di integrazioni per parti e sostituzione. Esercizi anche su fratte con denominatore di grado 2.
- 03 dicembre 2010 (2 ore):
Definizione di integrale secondo Riemann ed integrale definito.
Proprieta': additivita', monotonia, positivita', linearita' (senza
dimostrazioni). Definizione di funzione integrale e sua monotonia per
integrande non negative (con dimostrazione). Il teorema della media
integrale (senza dimostrazione). Il teorema fondamentale del calcolo
integrale e la formula fondamentale del calcolo integrale (con
dimostrazioni).
- 10 dicembre 2010 (2 ore): Esercizi
sul calcolo di integrali definiti, calcolo di aree, calcolo di rette
tangenti a funzioni integrali. Introduzione agli integrali impropri.
Definizione di funzione integrabile in senso improprio su intervalli
limitati e non. Esempi.
- 13 dicembre 2010 (1 ora): Richiami
sulla definizione di integrale improprio. Il teorema del confronto per
funzioni non negative (con dimostrazione). Esempio di utilizzo del teorema del confronto.
- 14 dicembre 2010 (1 ora): Teorema
del confronto per funzioni di segno qualunque. Esempi. Esempio di
funzione integrabile tale che il suo modulo non lo e'.
- 17 dicembre 2010 (2 ore): Teorema
del confronto asintotico (senza dimostrazione). Esercizi su convergenza
di integrali impropri e su funzioni integrali.
- 21 dicembre 2010 (2 ore): Esercizi di riepilogo.
- 14 gennaio 2011 (2 ore):
Funzioni in piu' variabili. Definizione di continuita' e derivata
parziale. Definizione di derivata direzionale in caso di funzioni
``regolari'' e di gradiente e di piano tangente. Esercizi.
- 17 gennaio 2011 (2 ore).
Definizioni di punto di massimo e minimo e di matrice hessiana.
Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di punti estremanti
per funzioni di due variabili (senza dimostrazione). Esercizi.
- 18 gennaio 2011 (2 ore):
Esercizi sulla ricerca di massimi e minimi per funzioni di due
variabili. Definizione di Laplaciano ed esercizi di calcolo per
funzioni radiali. Equazione differenziale ordinaria del prim'ordine
anche in forma normale. Problema di Cauchy. Teorema di Peano (senza
dimostrazione). Esempi su problemi senza soluzioni e con infinite
soluzioni.
- 21 gennaio 2011 (2 ore). Teorema
di esistenza e unicita' locale della soluzione del problema di cauchy
per equazioni del prim'ordine (senza dimostrazione). Esempi. Equazioni
lineari del prim'ordine. Formula risolutiva. Esercizi.
- 24 gennaio 2011 (2 ore).
Esercizi su problemi di Cauchy per equazioni lineari. Equazioni a
variabili separabili. Equazione di Bernoulli con termine quadratico.
Esercizi.
- 25 gennaio 2011 (2 ore).
Equazioni differenziali di second'ordine. Il Problema di Cauchy.
Esistenza e unicita' locale per il problema associato ad equazioni
lineari a coefficienti continui. Lo spazio delle soluzioni: somma di
soluzioni dell'omogenea e una soluzione particolare (con
dimostrazione). Lo spazio vettoriale delle soluzioni delle equazioni
omogenee. La matrice wronskiana. Equazioni lineari a coefficienti
costanti. Risoluzioni delle omogenee. Esercizi.
- 31 gennaio (2 ore).
Soluzioni di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti
costanti e non omogenee con secondo membro di tipo esponenziale,
logaritmico o trigonometrico. Esercizi sulla risoluzione di Equazioni
differenziali del second'ordine e problemi di Cauchy associati.
- 01 febbraio (2ore). Esercizi di ricapitolazione.
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