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05 marzo 2007: Presentazione del corso; Insiemi
numerici; Definizioni di Gruppo, Anello e Campo, esempi: N, Z, Q, R; Estremo
superiore ed inferiore di insiemi, Massimo e Minimo di insiemi; Risultati
ed esempi collegati (la completezza di R); Intervalli e intorni; il Valore
Assoluto; Definizione di Funzione ed esempi; Iniettivita' e Suriettivita'.
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07 marzo 2007: Rappresentazione grafica di
Funzioni Elementari (Retta, Iperbole equilatera, Parabola centrata in 0
e Valore Assoluto);Composizione di funzioni con Esempi, dal grafico di
f dedurre il grafico di...(traslate e composte con il valore assoluto);
Risoluzioni grafiche ed algebriche di Disequazioni ed Equazioni con il
valore assoluto; Risoluzioni grafiche ed algebriche di disequazioni ed
equazioni di secondo grado e fratte.
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12 marzo 2007: La funzione Inversa e sue proprieta',esempi
di funzioni invertibili e non; Funzioni strettamente monotone con esempi;
Dimostrazione dell'iniettivita' di funzioni strettamente monotone; Esercizi
sul calcolo dell'inversa; Esercizi su dominio, immagine ed inversa di funzioni
reali di variabile reale.
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14 marzo 2007: Funzioni polinomiali e con esponente
frazionario; Risoluzioni grafiche ed algebriche di disequazioni irrazionali
con esponente 1/2 e 1/3. Definizioni di funzioni esponenziali e logaritmiche,
loro grafici e proprieta'.
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19 marzo 2007 : Risoluzione algebrica e grafica
di equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche; Introduzione della
circonferenza gognometrica, delle funzioni seno e coseno, loro grafici
e loro proprieta'; Equazioni e disequazioni trigonometriche; Definizione
di funzione periodica e di periodo minimo.
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21 marzo 2007 : Definizione di funzione tangente,
grafico e proprieta'; Equazioni e disequazioni trigonometriche; Inverse
di funzioni trigonometriche: arcoseno, arcocoseno, arcotangente e loro
proprieta'; Domini, immagini ed invertibilita' di funzioni composte (con
esponenziali, logaritmiche, irrazionali, fratte e trigonometriche).
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26 marzo 2007 : Definizione di limite finito
di f(x) per x che tende ad un valore finito; Esempio di calcolo usando
la definizione e rappresentazione grafica; Proprieta' delle operazioni
di limite; Teorema di unicita' del limite con cenno di dimostrazione; Teorema
dei due carabinieri con dimostrazione; Calcolo del limite notevole sen(x)/x.
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28 marzo 2007 : Definizioni di limite destro
e limite sinistro; Esempio della funzione sign(x) per cui non esiste il
limite, ma esistono limite destro e sinistro; Definizione di limite infinito
di f(x) per x che tende ad un valore finito. Limiti finiti di f(x) al tendere
di x ad infinito. Limiti infiniti per x che tende ad inifinito; Esempio
di verifica di limiti con la definizione; Limiti di funzioni polinomiali
e polinomiali fratte.
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02 aprile 2007 : Definizione di funzione continua
ed esempi. Teoremi su somme, prodotti e quozienti di funzioni continue.
Esempi di discontinuita' di tipo eliminabile, salto, punti di infinito,
seconda specie. Teorema sulla composizione di funzioni continue ed esercizi.
Continuita' delle funzioni elementari sul loro dominio. Teorema sulla continuita'
e monotonia della funzione inversa. Esercizi sul calcolo di limiti di funzioni
composte. Definizione di funzioni equivalenti, conseguenze ed applicazioni
al calcolo di limiti. Definizione di ``o piccolo'' (o funzione trascurabile
rispetto ad un'altra). Esempi di cui si e' vista la dimostrazione: sen(x)
equivalente ad x per x che tende a zero, 1-cos(x) equivalente ad
x^2/2 per x che tende a zero, Proprieta' degli ``o piccolo'' ed esempi.
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04 aprile 2007 : Richiamo della definizione
di ``o piccolo''. Relazioni tra funzioni equivalenti e trascurabili. Dimostrazione
di arctg(x) equivalente ad x per x che tende a zero. Definizione del Numero
di Nepero. Dimostrazione di e^x-1=x+o(x), log(1+x)=x+o(x), (1+x)^\alpha=1+\alpha
x +o(x) per x che tende a 0. Esercizi sui limiti usando gli sviluppi asintotici.
Confronti tra log(x), e^x, x^\alpha per x che tende a +infinito e a zero
ed esercizi.
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16 aprile 2007 : Definizioni di asintoto verticale,
orizzontale ed obliquo. Esercizi su calcolo di dominio di funzioni, limiti
agli estremi ed eventuali asintoti. Esercizi su verifica di continuita'
di funzioni definite a pezzi e dipendenti da parametri.
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18 aprile 2007 : Definizione di derivata. Legame
con la retta tangente. Calcolo di derivate di funzioni elementari. Esempi
di funzioni non derivabili. Definizione di punto angoloso, punto di infinito,
cuspide. Dimostrazione del fatto che derivabilita' implica continuita',
esempi per cui il viceversa non e' verificato. La derivata della somma,
prodotto e quoziente. Dimostrazione della regola di derivazione del prodotto
di due funzioni.
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23 aprile 2007 : Esercizi di ricapitolazione
in preparazione al primo compitino.
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2 maggio 2007 : Riassunto sul significato geometrico
ed analitico di derivata ed esempi di funzioni derivabili e non. Derivazione
della funzione composta ed esercizi. Esercizi sulla ricerca di rette tangenti
in un punto ad una funzione data. Teorema sulla derivazione della funzione
inversa con dimostrazione ed esercizi. Calcolo di derivate di logaritmo,
arcsen, arccos, arctg.
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7 maggio 2007 : Definizione di punto di massimo
e minimo locali ed assoluti ed esempi. Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione)
e Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange (con dimostrazione). Controesempi
ai teoremi quando cada una delle ipotesi. Esempio che illustra come non
valga il viveversa del Teorema di Fermat. Applicazione del Teorema di Lagrange:
relazioni tra derivata prima e monotonia ed esercizi. Test della derivata
prima per la ricerca di massimi e minimi locali. Esercizi sulla ricerca
di massimi e minimi locali ed assoluti ed intervalli di monotonia.
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9 maggio 2007 : La derivata seconda. Definizione
di funzioni convesse, concave. Relazioni tra derivate seconde e convessita',
concavita'. Esercizi sullo studio di funzione. Il criterio della derivata
seconda (solo enunciato). Definizione di punto di flesso. Esercizi sullo
studio di funzione: ricerca di massimi, minimi e flessi e studio della
monotonia e della convessita'. Caratterizzazione della convessita' tramite
rette tangenti. Test della derivata seconda per ricerca di massimi e minimi.
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14 maggio 2007 : Esercizi sullo studio di funzione:
ricerca di massimi, minimi e flessi e studio della monotonia e della convessita'.
Il Teorema di de l'Hopital: enunciato ed esercizi. Introduzione agli sviluppi
di Taylor con resto di Peano per funzioni reali.
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16 maggio 2007 : Sviluppi di Taylor con resto
di Peano per funzioni reali: esempi di sviluppi per funzioni elementari
ed esercizi sul calcolo di limiti con tali sviluppi.
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21 maggio 2007 : Definizione di funzione primitiva.
Teorema di esistenza della primitiva e sua caratterizzazione. Calcolo di
primitive di funzioni elementari. Esempio di funzione che non ha una primitiva.
Definizione di Integrale Indefinito. Proprieta' dell'integrale indefinito
(integrale della somma e del prodotto di una funzione per una costante)
e calcolo di alcuni integrali indefiniti. Metodo di integrazione per sostituzione
ed esercizi. Teorema di integrazione per parti. Esercizi sull'integrazione
per parti e sostituzione.
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23 maggio 2007 : Introduzione dell'integrale
secondo Riemann. Esempi di funzioni integrabili secondo Riemann. Esempio
di funzione non integrabile secondo Riemann. Integrabilita' di funzioni
continue e di funzioni monotone. Definizione di integrale definito. Proprieta'
degli integrali definiti. Integrazione di funzioni continue a tratti.
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28 maggio 2007 : Definizione di funzione integrale
con esempi di calcolo di funzioni integrali di funzioni elementari. Il
terorema e la formula fondamentale del calcolo integrale con dimostrazione.
Legami tra integrali indefiniti e definiti. Calcolo di integrali definiti
(metodo di integrazione sostituzione). Esercizi sull'integrazione di funzioni
continue a tratti.
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30 maggio 2007 : Esercizi su integrali
definiti (integrazione per parti e sostituzione) e indefiniti. Esercizi
sul calcolo di aree di regioni di piano compresi tra grafici di funzioni
note.
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4 giugno 2007 : Esercizi di ricapitolazione.
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6 giugno 2007 : Esercizi in preparazione al
secondo compitino.
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