Analisi Matematica 1 (parte A per Ingegneria Civile e Ambientale ed Edile Architettura 2018/2019)
       
       

      Argomenti di Teoria da conoscere per scritto ed orale:  (Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica 1)

      Cap. 1:       Definizione di insiemi numerici e loro proprieta'. Definizioni di massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore. Numeri complessi, definizione e proprieta'. Forma algebrica, modulo, coniugio.
      Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formule di de Moivre.
      Teorema fondamentale dell'algebra. Esercizi su numeri  complessi e sup e inf di insiemi.

      Cap. 3:       Definizione di successione. Successioni inferiormente e superiormente limitate. Esempi. Definizione di limite (finito) per successioni. Esempi. Unicita' del limite di successioni (con dimostrazione). Definizione di successione divergente e oscillante. Esempi. Definizione di successione monotona.
      Teorema di monotonia per successioni. Esempi. Progressione geometrica. Algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto o dei carabinieri (con dimostrazione).  Confronti tra ordini di infinito ed infinitesimo. Definizione di asintotico e proprieta'. Teorema del rapporto. Definizione di fattoriale.
      Limiti di funzioni reali di di variabile reale. Esempi. Limite destro e sinistro. Unicita' del limite. Definizione di limite successionale. Definizione di continuita'. Esempi. Definizione di discontinuita' di tipo salto ed eliminabile. Esempi. Definizione di limite con gli intorni. Teorema del confronto per funzioni. Teorema della permanenza del segno. Algebra dei limiti. Limite di funzioni composte.
      Soluzione di forme indeterminate. Limiti notevoli (con dimostrazione) ed esercizi. Teoremi per funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass, di monotonia e invertibilita'.

      Cap. 4:       Nozione di derivata, suo significato e sue proprieta'. Calcolo di derivate di funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivata di composta ed inversa. Esempi. Classificazione di punti di non derivabilita'. Esempi. Teorema su relazioni tra ontinuita' e derivabilita' con dimostrazione. Teorema di Fermat e di Lagrange con dimostrazione. Teorema di monotonia.
      Significato geometrico di convessita'. Legami con il segno della derivata seconda. Definizione di punto di flesso. Il Teorema di de l'Hospital. Dimostrazione delle gerarchie tra infiniti con de l'Hospital. Legame tra derivate destra e sinistra e limite della derivata.
      Approssimazione di funzione con polinomi. Polinomi di Taylor e Mc Laurin con il resto di Peano.
      Polinomi di Taylor con resto di Lagrange. Applicazioni alla convessita' e stime del resto. Esercizi su limiti, polinomi di Taylor e studi di funzione.

      Cap. 6:       Definizione di funzione integrabile. Classi di funzioni integrabili. Esempio di funzione non integrabile. Definizione di primitiva. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Esempi di calcolo di primitive elementari. Proprieta' dell'integrale definito e indefinito. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali fratte. Integrazione di funzioni trigonometriche e irrazionali. Definizione di integrale improprio per funzioni illimitate. Criteri di convergenza. Integrazione in senso generalizzato su intervalli illimitati. Esempi.