Programma del corso

Richiami ai concetti di limite, derivata, integrale per funzioni di una variabile.

Successioni e serie: successioni convergenti e loro limite, successioni divergenti ed oscillanti, esempi. Successioni monotone non possono oscillare. Concetto di serie, diversi esempi, successione somme parziali. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini positivi: criterio del confronto,  esempi,  serie armonica generalizzata. Serie esponenziale. Criterio del rapporto (fatta dimostrazione). Criterio della convergenza assoluta (fatta dimostrazione). Serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz con stima dell’errore. Convergenza e divergenza serie armonica generalizzata confrontando con integrale.

Funzioni di due variabili: R² con identificazione di punti e vettori, operazioni su vettori, intorni in R², punti interni-esterni-di frontiera, insiemi aperti e chiusi, insiemi limitati, esempi. Limiti e continuità per funzioni di due variabili, esempi. Derivate parziali, gradiente, differenzibilità, diversi esempi. Teorema del differenziale (fatta dimostrazione). Teorema di Schwarz di inversione dell’ordine di derivazione. Derivate di funzioni composte f(x(t), y(t)), curve nel piano, qualche esempio. Derivate direzionali e direzioni di massima pendenza. Massimi e minimi relativi, punti critici, condizioni necessarie e sufficienti per punti critici, hessiano.Qualche esempio di calcolo di massimi e minimi, liberi e vincolati.

Equazioni differenziali: introduzione, ordine, forma normale, problemi di Cauchy. Esempi: y’=0,  y’=f(t),  y’= α y. Modello maltusiano di crescita di una popolazione. Equazione logistica: studio qualitativo con accento su regolarità e unicità soluzione problema di Cauchy, calcolo esplicito delle soluzioni. Equazioni differenziali a variabili separabili: esempi di risoluzione, dominio della soluzione. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: calcolo esplicito della soluzione del problema di Cauchy, diversi esempi. Modello di caduta di un grave nel vuoto e nell’aria, confronto tra soluzioni. Problemi di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine in forma normale y’=f(t,y): teorema di esistenza e unicità in grande per funzioni  f  lipschitziane rispetto alla seconda variabile su tutta la striscia verticale passando per equazione integrale (fatta dimostrazione). Casi in cui vale o non vale la condizione di lipschitzianità Cenni a risultati di esistenza e unicità in piccolo per funzioni  f  regolari in un intorno del punto iniziale, esempi, caso dei sistemi di più equazioni a cui ci si può ricondurre per equazioni differenziali di ordine superiore. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: struttura dell’insieme delle soluzioni, equazioni omogenee a coefficienti costanti con soluzioni linearmente indipendenti nei tre casi, equazioni non omogenee con termini noti di tipo particolare, metodo di variazione delle costanti nel caso generale, molti esempi. Modello dell’oscillatore armonico: oscillazioni libere, smorzate e forzate, fenomeno della risonanza.