Programma del corso
Richiami ai concetti di limite,
derivata, integrale
per funzioni di una variabile.
Successioni e serie: successioni convergenti e loro limite, successioni divergenti ed oscillanti, esempi. Concetto di serie, diversi esempi, successione somme parziali. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini positivi: criterio del confronto, esempi, serie armonica generalizzata. Serie esponenziale. Criterio del rapporto (fatta dimostrazione). Criterio della convergenza assoluta (fatta dimostrazione). Serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz con stima dell’errore. Divergenza serie armonica confrontando con integrale.
Funzioni di due variabili: intorni in R², punti interni-esterni-di frontiera, insiemi aperti e chiusi, insiemi limitati,esempi. Punti del piano come vettori. Limiti e continuità per funzioni di due variabili, esempi. Derivate parziali, gradiente, differenzibilità, diversi esempi. Teorema del differenziale (fatta dimostrazione). Teorema di Schwarz di inversione dell’ordine di derivazione. Derivate di funzioni composte f(x(t), y(t)), curve nel piano, qualche esempio. Derivate direzionali e direzioni di massima pendenza. Massimi e minimi relativi, punti critici, condizioni necessarie e sufficienti per punti critici, hessiano.Qualche esempio di calcolo di massimi e minimi, liberi e vincolati.
Equazioni differenziali: introduzione, ordine, forma normale, problemi di Cauchy. Esempi: y’=0, y’=f(t), y’= sin y con studio qualitativo, y’= α y. Modello maltusiano di crescita di una popolazione. Equazione logistica: studio qualitativo e calcolo esplicito delle soluzioni. Modello di caduta di un grave nel vuoto e nell’aria, confronto tra soluzioni. Equazioni differenziali lineari del primo ordine, esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy (fatta dimostrazione), diversi esempi. Modello decadimento radioattivo. Equazioni differenziali a variabili separabili, esempi di risoluzione, dominio della soluzione. Problemi di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine in forma normale y’=f(t,y) : un esempio di studio qualitativo, teorema di esistenza e unicità in grande per funzioni f lipschitziane rispetto alla seconda variabile su tutta la striscia verticale (fatta dimostrazione) passando per equazione integrale. Cenni a risultati di esistenza e unicità in piccolo per funzioni f regolari in un intorno del punto iniziale, esempi, caso dei sistemi di più equazioni a cui ci si può ricondurre per equazioni differenziali di ordine superiore. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: struttura dell’insieme delle soluzioni, equazioni omogenee a coefficienti costanti con soluzioni linearmente indipendenti nei tre casi, equazioni omogenee a coefficienti variabili e cenni al metodo di riduzione dell’ordine, equazioni non omogenee con termini noti di tipo particolare, metodo di variazione delle costanti nel caso generale. Modello dell’oscillatore armonico.
Alcuni riferimenti bibliografici