a.a. 2005/06 - Complementi di Analisi
Matematica di Base
per
il corso di laurea in Matematica - Primo semestre - 60 ore - 7
CFU -
MAT/05
Docente: Pierluigi Colli
Obiettivi:
Lo scopo del corso è quello di fornire allo studente della
laurea triennale alcune di quelle conoscenze che non hanno trovato
spazio nei corsi precedenti di Analisi Matematica di Base.
Contenuti:
Successioni e serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme,
esempi e risultati relativi a continuità, conservazione
integrali e derivate. Criterio di Weierstrass per le serie. Serie di
potenze.
Misura ed integrazione secondo Lebesgue, fatta piuttosto per bene
sviscerando la teoria e dimostrando (quasi) tutto. Naturalmente,
teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Come
strumento, provata anche la completezza di L^1.
Spazi normati: basi della teoria, esempi tra cui gli spazi L^p con
p=1,2 oppure infinito; tutti gli spazi l^p. Spazi di Hilbert, teoremi
di Riesz e delle proiezioni. Operatori
lineari e limitati, funzionali lineari, sottospazi con molti esempi.
Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi
ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di
Fourier concrete in L^2(T) e completezza del sistema {e^{ikt}}:
convoluzioni con polinomi trigonometrici e nucleo di Fejer.
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