a.a. 2010/11 - Analisi Funzionale

per il corso di laurea magistrale in Matematica

Primo semestre - 6 + 3 CFU - 48 + 36 ore - MAT/05

Docente:   Pierluigi Colli

Programma del corso in formato pdf

Avvertenza

Il corso di Analisi Funzionale doveva essere tenuto dal Prof. Gianni Gilardi. Con la riorganizzazione della didattica sopravvenuta in seguito alle manifestazioni di protesta nei confronti del DDL Gelmini, il corso è stato assegnato a me. Permettete che a livello di programma di massima indichi quello già prospettato dal Prof. Gilardi. Mi impegno naturalmente a precisarlo e modificarlo (o semplicemente confermarlo) durante lo svolgimento e a fine corso.

Contenuti

1. Richiami su norme e prodotti scalari. Metriche e topologie indotte. Spazi vettoriali topologici. Alcune costruzioni canoniche.

2. Completezza e spazi di Banach e di Hilbert. Completamenti. Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue, di Lebesgue e di Sobolev.

3. Operatori lineari e continui. Duale di uno spazio normato. Risultati di rappresentazione del duale.

4. Richiami sulla teoria elementare degli spazi di Hilbert, già svolta nei corsi della laurea triennale. Convergenza debole in uno spazio normato e compattezza debole sequenziale degli spazi di Hilbert.

5. Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro innumerevoli applicazioni: la mappa di dualità, il biduale, l'isomorfismo canonico e la nozione di spazio riflessivo, la convergenza debole* nel duale, il problema della compattezza debole sequenziale, l'aggiunto di un operatore lineare e continuo.

6. Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach e alcune loro applicazioni: funzioni convesse e sottodifferenziali.

7. Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach: i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso con alcune loro conseguenze importanti. L'aggiunto di un operatore non limitato e le relazioni di ortogonalità. Operatori chiusi e operatori a immagine chiusa.

8. Riflessività: costruzioni canoniche di spazi riflessivi e classi importanti di spazi riflessivi.

9. Famiglie di seminorme, spazi localmente convessi, spazi di Fréchet. Le topologie debole e debole*: teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*. Esempi importanti di spazi di Fréchet.

Materiale didattico e riferimenti bibliografici

• Un buon testo di riferimento è H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 1986.

• Per questo corso il Prof. Gilardi aveva preparato le note, molto ricche ed interessanti: G. Gilardi, Analisi Funzionale (un possibile Corso di Analisi Funzionale) .

• Note su disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski e completezza degli spazi L^p.

Modalità d'esame

Siccome il corso prevede espressamente le esercitazioni, sarebbe bello poter organizzare una prova scritta (magari a fine corso?). D'altra parte lo scritto mal si concilia con la flessibilità sulle date di esame, per cui invito gli studenti a contattarmi direttamente per l'esame che consisterà in una prova orale sugli argomenti svolti durante il corso.

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