a.a. 2016/17 - Analisi Matematica 4

per il corso di laurea in Matematica

Primo semestre - 6 + 3 CFU - 48 + 36 ore - MAT/05

Docente:   Pierluigi Colli

Programma del corso in formato pdf

Contenuti del corso

• Teoria della misura. Misura di Lebesgue, sigma-algebre, misure, funzioni misurabili, integrale di Lebesgue, teoremi di passaggio al limite sotto integrale, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze.


• Misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini. Misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo.


• Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Completezza.


• Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt).

Materiale didattico e riferimenti bibliografici

• Appendice su Integrazione astratta del libro H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 1986.

• G. Gilardi, Analisi Matematica di Base, McGraw-Hill, 2001.

• Note -- servite come lucidi -- su insiemi misurabili e misura di Lebesgue in R^N.

• Note preparate dal Dr. Samuele Maschio di teoria della misura.

• Note redatte da Onofrio de Bari su spazi di Banach e Hilbert e serie di Fourier astratte -- rivedute e corrette.

• Note su estensione del teorema fondamentale del calcolo, funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente continue.

• Note su densità delle funzioni continue a supporto compatto negli spazi L^p.

• Prove scritte degli anni 2013-16: puoi scaricarle in formato pdf.

• Prove scritte di Analisi C & CAMB degli anni 2007-10 e anche prove scritte di CAMB del 2005-06.

• Prove scritte di Istituzioni di Analisi Superiore (esame della vecchia laurea quadriennale in Matematica) dei periodi giugno 1998 -- marzo 2001 e giugno 2001 -- luglio 2005.

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova scritta di non più di 2 ore (durante la quale non è consentito l'uso di appunti, testi, minicalcolatori, ...) più una prova orale. L'esito della prova scritta non è vincolante per la partecipazione alla prova orale e la buona riuscita dell'esame, ma ovviamente costituisce un importante elemento di giudizio per la valutazione finale.

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