a.a. 2011/12 - Analisi Funzionale
per
il corso di laurea magistrale in Matematica
Primo semestre - 6 + 3 CFU - 48 + 36 ore - MAT/05
Docente: Pierluigi Colli
Programma del corso in formato pdf
Programma indicativo
Richiami su norme e prodotti scalari. Metriche e topologie indotte.
Spazi normati. Completezza e spazi di Banach e di Hilbert.
Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue e gli spazi
di Lebesgue.
Operatori lineari e continui. Duale di uno spazio normato. Esempi.
Risultati di rappresentazione del duale.
Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro
applicazioni. Mappa di dualità, il biduale, l'isomorfismo canonico
e la nozione di spazio riflessivo, convergenza debole,
convergenza debole* nel duale.
Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach
e alcune loro applicazioni:
funzioni convesse e sottodifferenziali.
Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach:
i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico
chiuso con alcune loro conseguenze importanti. L'aggiunto di un operatore
non limitato e le relazioni di ortogonalità.
Le topologie debole e debole*: spazi riflessivi e spazi separabili,
teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*. Spazi uniformemente convessi.
Riflessività, separabilità e duali degli spazi di Lebesgue.
Teoria elementare degli spazi di Hilbert: teorema delle proiezioni e
conseguenze, teorema di Riesz, teoremi di Lions-Stampacchia e Lax-Milgram.
Somme hilbertiane e basi hilbertiane.
Materiale didattico e riferimenti
bibliografici
- Un buon testo di riferimento è H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni,
Liguori Editore, 1986.
Modalità d'esame
Sentiti gli studenti che seguono il corso, sono disponibile a programmare
un'eventuale prova scritta a fine corso, per esempio nel gennaio 2012 (con
possibilità per lo studente di accettare direttamente
il voto dello scritto). Altrimenti prova orale in data da concordare col docente.
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