a.a. 2016/17 - Variational Methods for Evolution Equations
corso per il Dottorato Consortile in Matematica, Università di
Pavia e Milano Bicocca con il contributo dell'INdAM
Marzo–Aprile 2017 – 16 ore
Docente: Pierluigi Colli
Appunti
di accompagnamento alle lezioni (in pdf)
Programma sintetico
10.03.17 (2 ore) Presentazione generale dei problemi ai limiti e ai valori iniziali
di tipo parabolico o iperbolico. Esempio: problema di Cauchy-Neumann
non omogeneo e formulazione variazionale, a diversi livelli. Illustrazione
dei metodi di Faedo-Galerkin e discretizazione in tempo a livello generale
e commenti vari sulla diversa impostazione dell'approssimazione. Spazi di
funzioni continue, C^k, C_0^\infty a valori in uno spazio di Banach. Spazi di
funzioni L^p a valori in uno spazio di Banach: definizioni e primi risultati.
16.03.17 (2 ore) Definizione di funzione integrabile fatta per bene, teorema di
Bochner, proprieta' e commenti vari, spazi L^p(I,X) con diverse osservazioni,
inclusioni, riflessivita', separabilita'. Distribuzioni di I a valori in V, se u
sta in L^1_loc e si annulla su tutte le funzioni test, allora e' nulla q.o.
Definizione di derivata generalizzata, parallelo con distribuzioni,
definizione spazi W^{1,p}.
23.03.17 (2 ore) Richiamo di derivata generalizzata, legame con distribuzioni
a valori vettoriali, unicita' derivata generalizzata, derivata generalizzata
si conserva per convergenze deboli di successioni. Definizione di
W^{1,p}(0,T;V), norme e completezza di questi spazi. Una versione di
un teorema fondamentale del calcolo con tutta la dimostrazione.
Conseguenze: W^{1,p}(0,T;V) e' immerso con continuita' in C^0 ([0,T];V);
gli elementi di W^{1,\infty}(0,T;V) sono funzioni lipschitziane.
24.03.17 (2 ore) Se p>1, gli elementi di W^{1,p}(0,T;V) sono funzioni holderiane,
altre osservazioni di complemento. Terna di spazi V , H=H', V' con immersioni
continue e dense, proprieta'. Spazio W delle funzioni u in L^p (0,T;V)
con derivata generalizzata in L^p' (0,T;V') e' uno spazio di Banach immerso
con continuita' in C^0 ([0,T];H) con tutta la dimostrazione, ma sorvolando
un po' sulla densita' di C^1 ([0,T];V) (solo l'idea su come fare).
Lemma di Gronwall con dimostrazione.
30.03.17 (2 ore) Problema parabolico con equazione del calore e condizione al bordo
di terzo tipo. Commenti sul significato fisico di incognita e dati del problema.
Deduzione della formulazione variazionale in V', con V= H^1 (\Omega)
e H=H'=L^2(\Omega). Forma bilineare, continua, simmetrica e coerciva in senso
debole. Esempio di forma non simmetrica introducendo termine di convezione
e considerazioni relative. Spazi dei dati e spazio naturale H^1(0,T;V, V') per
la soluzione. Enunciato teorema di esistenza, unicita', dipendenza continua dai dati.
Prova della stima di dipendenza continua.
31.03.17 (2 ore) Dimostrazione dell'esistenza della soluzione per problema parabolico astratto
utilizzando uno schema di Faedo-Galerkin con base qualunque. Fatti con cura tutti i dettagli
relativi al sistema di equazioni differenziali ordinarie. Richiamo della stima di dipendenza continua
e maggiorazione uniforme. Laborioso passaggio al limite e controllo preciso per
equazione e condizione iniziale. Diverse osservazioni su: convergenza di tutta la successione,
forma che puo' dipendere da t, approssimazione di dato iniziale e secondo membro.
11.04.17 (2 ore) Teorema di regolarita' della soluzione con operatore A (legato alla forma a)
simmetrico, oltre che lineare, continuo e coercivo in senso debole; dato iniziale in V
e sorgente in L^2 (0,T;H). Soluzione in tal caso sta in H^1(0,T;D(A), H) ed e' continua
a valori in V. Definizione dello spazio D(A) e sua esplicitazione nel caso del Laplaciano
con condizioni di Neumann omogenee. Tutta la dimostrazione del risultato di regolarita'
riproducendo la stima sullo schema di Faedo-Galerkin. Commenti e osservazioni
precise sul passaggio al limite facilitato che si avrebbe. Cenni a estensioni del risultato
con termine di sorgente piu' generali. Schemi di discretizzazione in tempo; impostazione
di uno schema alle differenze implicito sul problema parabolico per mostrare il tipo di
approccio. Problema astratto iperbolico e prototipo con equazione delle onde con
condizioni al bordo di tipo Neumann, omogenea e non. Enunciato di risultato di
esistenza per una soluzione forte.
21.04.17 (2 ore) Dimostrazione del risultato di esistenza di una soluzione forte:
introduzione dello schema discreto implicito in tempo, esistenza di una
soluzione discreta, definizione di funzioni costanti a tratti e lineari a tratti,
stima a priori con lo sviluppo dei vari conti, lemma di Gronwall discreto
e sua applicazione, altre stime collegate. Cenni poi al passaggio al limite
al tendere a zero del passo di discretizzazione; al teorema di dipendenza continua;
alla possibilita' di utilizzare la stima di dipendenza continua per provare
l'esistenza e l'unicita' di una soluzione debole.
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Papers che possono essere scelti per eventuale seminario d'esame:
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