08.01.2026 (2 ore)
Descrizione del progetto e degli obiettivi del corso.
Richiami a spazi di Sobolev su $\Omega$, terna di spazi $V, \, H, \, V'$, $H$ è sempre $L^2(\Omega)$ identificato col suo duale. Operatore ellittico $-\Delta$ con condizioni ai limiti di Neumann omogeneo, un problema ai limiti per questo operatore, formulazione debole e forte, risultato di regolarità ellittica che utilizzeremo nel corso.
Spazi di funzioni a valori vettoriali: misurabilità e integrabilità di queste funzioni definite tramite successioni di funzioni semplici misurabili, caratterizzazione degli elementi di $L^p(0,T;X) $, estensione del teorema di Lebesgue della convergenza dominata, spazi $W^{1,p} (0,T;X) $ definiti tramite derivata debole, qualche proprietà di riflessività, separabilità, duali per questi spazi. Lo spazio $L^2(0;T; H)$ si identifica con $L^2(\Omega \times (0,T) )$.
Funzioni convesse proprie s.c.i. in uno spazio di Hilbert: definizioni, proprietà di epigrafo, minorate da funzioni affini, diversi esempi tra cui funzione indicatrice di convesso chiuso e integrando convesso. Funzione coniugata e proprietà, in particolare biconiugata uguale alla funzione di partenza. Esempi con identificazione della coniugata, in particolare per la norma, e proprietà della coniugata della funzione indicatrice di convesso chiuso. Nessuna dimostrazione, solo enunciati e qualche dettaglio su esempi.

15.01.2026 (2 ore)
Definizione di operatore monotono $A$, dominio $D(A)$, rango $R(A)$, grafico $G(A)$.
Esempi di operatori monotoni:
- funzioni non decrescenti definite su $\mathbb{R}$, estensione al grafo con i tratti verticali inclusi, operatori inversi;
- se $J$ è un operatore non espansivo, cioè lipschitziano di costante $1$, $I - J$ è un operatore monotono;
- l'operatore di proiezione su convesso, chiuso, non vuoto è monotono;
- estensione di operatore monotono definito su $H$ a operatore su $L^2 (S;H)$, con $S$ insieme ambiente di uno spazio di misura.
Definizione di operatore massimale monotono, insistendo un pò sul concetto di massimalità. Caratterizzazione di operatori massimali monotoni con $A$ monotono e $R(I+A)=H$ e con $(I+\lambda A)^{-1}$ non espansivo in $H$ per ogni $\lambda >0$ (nessuna dimostrazione).
Esempi di operatori massimali monotoni:
- grafo monotono in $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ con tratti verticali inclusi;
- derivata in $L^2(0,T)$ con dominio $H^1 (0,T) $ nulle in $0$;
- $-\Delta$ con condizioni ai limiti di Neumann omogenee in $L^2(\Omega)$ mostrando anche che questo operatore si può estendere a operatore massimale monotono da $H^1(\Omega)$ nel suo duale;
- estensione di operatore massimale monotono definito su $H$ a operatore su $L^2 (S;H)$, a patto che $S$ sia di misura finita oppure che $0\in A\, 0$.
Lemma di passaggio al limite: se $(x_n, y_n)\in G(A)$ e le due successioni convergono debolmente in $H$ e verificano la condizione del $\limsup$, allora i limiti deboli $x$ e $y$ verificano $(x, y)\in G(A)$.

27.01.2026 (2 ore)
Definizioni di sottogradiente in un punto e dell'operatore sottodifferenziale. Il dominio è un sottoinsieme del dominio della funzione convessa, propria, s.c.i.
Proprietà di uguaglianza per la somma della funzione convessa e della sua coniugata col prodotto scalare di un elemento e di un suo sottogradiente.
Il sottodifferenziale è un operatore monotono.
Il sottodifferenziale è massimale monotono con dimostrazione, usando teorema di minimo per funzioni convesse, proprie, s.c.i. e coercive (cioè, tendenti all'infinito per norma dell'elemento che tende all'infinito) e lemma di caratterizzazione del minimo di funzione più termine quadratico centrato in un punto.
Esempi di sottodifferenziali di convesse, proprie, s.c.i.:
- il gradiente di una funzione convessa e differenziabile coincide col suo sottodifferenziale;
- sottodifferenziale della funzione norma, che in particolare è multivoco in $0$;
- funzione indicatrice di convesso chiuso non vuoto $C$ ha come sottodifferenziale il cono normale a $C$;
- sottodifferenziale di funzioni convesse, proprie, s.c.i. definite su $\mathbb{R}$, con esempi di indicatrice un punto, indicatrice dell'intervallo [-1,1], potenziale logaritmico.

29.01.2026 (2 ore)
Sottodifferenziali di funzioni convesse, proprie, s.c.i.:
- un grafo massimale monotono $\beta$ in $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ può essere sempre traslato e spostato in modo tale che $0\in D(\beta)$ e $ 0\in \beta (0)$. Avere la condizione $ 0\in \beta (0)$ è molto comodo, in quanto per es. anche il grafo inverso verifica la stessa condizione. Definiamo ora la funzione convessa, propria, s.c.i. $\widehat{\beta} $ come funzione integrale – tra $0$ e la variabile – della sezione minima di $\beta$, estendendo con valore finito o $+\infty$ al di fuori del dominio di $\beta$. Tale funzione $\widehat{\beta} $ ha minimo $0$ in $0$. Ebbene, ora gli integrandi convessi di $\widehat{\beta} $ su insiemi $S$ di uno spazio di misura sono funzioni convesse, proprie, s.c.i. in $L^2 (S) $ che ammettono come sottodifferenziale l'estensione dell'operatore $\beta$ che lavora q.o. su $L^2 (S) $;
- l'operatore $-\Delta$ con condizioni ai limiti di Neumann omogenee in $L^2(\Omega)$ non è altro che il sottodifferenziale della funzione $u\mapsto (1/2) \int_\Omega |\nabla u|^2 $ estesa con valore $+\infty$ alle $u$ di $L^2(\Omega)$ che non stanno in $H^1(\Omega)$.
Visti tutti gli esempi, ci chiediamo: ma tutti gli operatori massimali monotoni sono anche sottodifferenziali? La risposta è no: esempio di operatore lineare anti-simmetrico definito su $\mathbb{R}^2$ che è massimale monotono ma che non è sottodifferenziale di funzione convessa.
Definizione di operatore ciclicamente monotono. Ogni operatore ciclicamente monotono è monotono ma il viceversa non vale, con spiegazione della differenza. Ogni sottodifferenziale di funzione convessa, propria, s.c.i. è ciclicamente monotono. Inoltre ogni operatore ciclicamente monotono può essere esteso a un operatore sottodifferenziale, cioè è in generale una restrizione di un sottodifferenziale (senza dimostrazione) che coincide col sottodifferenziale quando è massimale monotono.
Risolvente e approssimata Yosida di un operatore massimale monotono: definizioni e principali proprietà, con dimostrazioni solo per le più semplici.

03.02.2026 (2 ore)
Regolarizzata Moreau-Yosida di una funzione convessa, propria, s.c.i.: definizione e principali proprietà, controllando quelle di facile deduzione ed enunciando le altre.
Lo sviluppo di questi argomenti è poi lo studio della risolubilità di problemi di Cauchy per equazioni d'evoluzione del tipo $u'+Au=f$, con $A$ massimale monotono. Enunciato di un teorema di esistenza, unicità e proprietà (i)–(iv) nel caso in cui l'operatore $A$ è un sottodifferenziale $\partial \varphi$ di funzione convessa, propria, s.c.i., con secondo membro $f\in L^2(0,T;H)$ e dato iniziale $u_0 \in D(\varphi)$.
Introduzione all'equazione di Allen–Cahn che scrivo nella forma $\partial_t u - \Delta u + \beta(u) - \pi (u) = f$, con $\beta$ grafo massimale monotono tale che $0\in\beta(0)$ e $\pi$ perturbazione lipschitziana. Introduzione del potenziale di doppio pozzo $W$ che ammette come derivata (o sottodifferenziale) proprio $\beta + \pi$. Esempi: potenziale smooth, potenziale logaritmico, potenziale di doppio ostacolo. L'equazione di Allen–Cahn è molto nota e viene utilizzata, da sola o accoppiata con altre equazioni, come modello a interfaccia diffusa per dinamiche di transizione di fase.
Il teorema astratto che abbiamo enunciato può essere utilizzato per provare la buona positura di un problema ai valori iniziali e con condizione al bordo di flusso nullo per l'equazione di Allen–Cahn? Vediamo: intanto l'operatore $u \mapsto - \Delta u + \beta(u)$ è il sottodifferenziale della funzione $\displaystyle u\mapsto \frac12 \int_\Omega |\nabla u|^2 + \int_\Omega \widehat{\beta} (u)$, dove $\widehat{\beta} $ è tale che $\beta = \partial \widehat{\beta} $ e ammette minimo in $0$. Però c'è la perturbazione $u \mapsto \pi (u)$ che non rientra nel quadro del teorema astratto. Allora introduciamo uno schema di approssimazioni successive partendo da $u_0$ e costruendo una successione $u_n$ che converge a $u$ in $C^0 ([0,T];L^2 (\Omega))$. Prova, alla fine piuttosto laboriosa e svolta con l'aiuto dei presenti, che la $u$ limite risolve il problema ai limiti e ai valori iniziali per Allen–Cahn.

05.02.2026 (2 ore)
Equazione di Allen–Cahn $\partial_t u - \Delta u + \beta(u) - \pi (u) = f$, con condizioni ai limiti di Neumann omogenee e dato iniziale $u_0$. Ipotesi sui dati e spazi $H,\, V, \, W$.
Prima approssimazione sostituendo $\beta$ con approssimata Yosida $\beta_\lambda$. Poi introduzione schema di Faedo–Galerkin con base speciale.
Formulazione variazionale in spazio finito-dimensionale $V_n$ generato dalle prime $n$ autofunzioni. Sistema di equazioni differenziali ordinarie con nonlinearità lipschitziane e relativo problema di Cauchy, che si risolve in grande con soluzione $u_n \in H^1(0,T;V_n).$ Stime uniformi sulla soluzione $u_n\, $, con costanti di limitatezza che dipendono da $\lambda$, negli spazi $ H^1(0,T;H)\cap L^\infty (0,T;V)$ e $L^2(0,T;W)$. Uso del lemma di Gronwall.
Passaggio al limite, per $n\to \infty$, per una sottosuccessione di soluzioni nello schema di Faedo–Galerkin. Utilizzo dei risultati di compattezza di Aubin–Lions–Simon per dedurre convergenze forti, utili a passare al limite nei termini non lineari. Il limite $u_\lambda$ è una soluzione forte dell'equazione $\partial_t u_\lambda - \Delta u_\lambda + \beta_\lambda(u_\lambda) - \pi (u_\lambda) = f$. Revisione delle stime precedenti, con maggiorazione uniforme, ora, del termine $\int_\Omega \widehat{\beta}_\lambda (u_0)$. Stima ulteriore per $\beta_\lambda (u_\lambda)$ in $L^2(0,T;H)$. Passaggio al limite su una sottosuccessione, di $u_\lambda$ a $u$ per $\lambda \to 0^+$, che si sviluppa come il precedente, ma dove in più c'è il problema dell'identificazione del limite debole di $\beta_\lambda (u_\lambda)$ come selezione di $\beta (u)$. Passaggio svolto con tutti i dettagli.
Cenni alla stima di dipendenza continua per differenza di soluzioni in $ C^0([0,T];H)\cap L^2 (0,T;V)$, e conseguente unicità della soluzione del problema ai limiti e ai valori iniziali.