| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MNAPDE2022/MNAPDE2022.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?lingua=1&idAttivitaFormativa=358430 |
| Semestre: | Primavera 2022 |
| Ricevimento: | Su appuntamento |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 24 (48 totali) |
| Lezioni: | Martedì 14:00 - 16:00, E9 |
| Mercoledì Le registrazioni delle lezioni dell'anno precedente (2021) saranno rese disponibili su Google Drive, il link verrà comunicato entro la prima lezione. |
Questa parte del corso riguarderà metodi numerici per problemi di scattering di onde.
In particolare ci occuperemo del metodo degli elementi al bordo (BEM, boundary element method) per l'equazione di Helmholtz \(\Delta u+k^2u=0\).
Alcune immagini ed animazioni di soluzioni dell'equazione di Helmholtz, incluse alcune calcolate con il BEM.
File pdf con le dispense del corso. Per favore segnalate gli errori!
| 1 | Martedì 01.03.2022 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Pressione, densità, velocità; conservazione delle massa e della quantità di moto; linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\). Condizioni al bordo: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. |
1.1 |
| 2 | Mercoledì 02.03.2022 |
Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Numero d'onda, ampiezza, fase. Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. In due dimensioni le equazioni di Maxwell si riducono a quella di Helmholtz: TM e TE modes. Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo. |
1.2 1.3 1.4 |
| 3 | Martedì 08.03.2022 |
Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare: potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. Acustica come caso limite dell'elasticità. Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D e in 2D. Onde piane, propagative e stazionarie. Onde evanescenti. Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. |
2.1 2.2 2.2.1 2.3 |
| 4 | Mercoledì 09.03.2022 |
Ripasso: funzioni di Bessel, Hankel e onde circolari. Funzioni di Herglotz. Domini Lipschitz. Spazi di Sobolev su domini Lipschitz. Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. |
3.1 3.2 3.3 |
| 5 | Martedì 15.03.2022 |
Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. Condizione di Sommerfeld. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. Problemi troncati. Problemi di scattering diretti e inversi. |
4.1 4.3.1 4.3.2 |
| 6 | Mercoledì 16.03.2022 |
Soluzione fondamentale \(\Phi_k(\mathbf{x},\mathbf{y})\) dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\), relazione attraverso la traccia. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Forma variazionale della BIE. Metodo BEM: BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Termini noti e matrici. Sistema lineare denso, non-simmetrico. Riduzione dimensionale rispetto al metodo FEM. |
5.1 5.2 |
| 7 | Martedì 22.03.2022 |
Ripasso dell'ultima lezione. Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. (Seminario Marcati) |
5.2.1 |
| 8 | Mercoledì 23.03.2022 |
Descrizione del progetto BEM da implementare; possibili estensioni. Problemi variazionali (\(u\in H,\mathcal{A}(u,w)=\mathcal{F}(w)\;\forall w\in H\)) non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, conseguenze. |
5.2.2 3.5 |
| 9 | Martedì 29.03.2022 |
Prima e seconda identità di Green. Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: autofunzioni, disuguaglianza di Garding, decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. Problema di Helmholtz con condizioni di impedenza. Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. |
3.4 4.2 5.3 |
| 10 | Mercoledì 30.03.2022 |
Conseguenze della rappresentazione integrale di Green: buona posizione del problema al bordo di impedenza. Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. Formula della traccia di Dirichlet del potenziale di double layer. Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce dei due potenziali, formule dei salti e delle medie. Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale. |
5.3 5.4 5.5 |
| 11 | Martedì 05.04.2022 |
Riassunto della lezione precedente. Conseguenze delle ultime formule dimostrate. Esempio di densità \(\psi\) per un problema di scattering. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. Far-field pattern: definizione, significato, approssimazione attraverso il BEM. L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). L'operatore di single-layer per l'equazione di Helmholtz è Fredholm. Buona posizione dell'equazione integrale lontano dalle risonanze spurie, conseguenze per il metodo BEM. Operatori di single-layer per l'equazione di Laplace e di reazione-diffusione. La differenza tra operatori di single-layer è compatta (sketch). |
5.5.1 6.1.1 6.1.2 6.1.4 |
| 12 | Martedì 12.04.2022 |
L'operatore di single-layer per l'equazione di diffusione-reazione è coercivo, quindi invertibile. Tentativi di costruire un'equazione integrale ben posta per ogni numero d'onda. Equazione integrale con il double-layer. Due equazioni integrali dirette, del primo e del secondo tipo. Equazioni di Brackhage-Werner e di Burton-Miller: iniettività e buona posizione. |
6.1.5 6.2 |