| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/MNAPDE2021/MNAPDE2021.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?lingua=1&idAttivitaFormativa=330470 |
| Semestre: | Primavera 2021 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Ore di lezione: | 24 (48 totali) |
| Lezioni: | Martedì 14:15 - 16:00, E9 |
| Giovedì 14:15 - 16:00, E9
Sarà possibile partecipare alle lezioni in presenza oppure da remoto attraverso la piattaforma Zoom. Ciascuno studente esprime la propria preferenza su https://frequenzainpresenza.unipv.it Le registrazioni delle lezioni saranno rese disponibili su Google Drive. I link Zoom e Google Drive verranno comunicati entro la prima lezione. |
Questa parte del corso riguarderà metodi numerici per problemi di scattering di onde.
In particolare ci occuperemo del metodo degli elementi al bordo (BEM, boundary element method) per l'equazione di Helmholtz \(\Delta u+k^2u=0\).
Alcune immagini ed animazioni di soluzioni dell'equazione di Helmholtz, incluse alcune calcolate con il BEM.
File pdf con le dispense del corso. Per favore segnalate gli errori!
| 1 | Martedì 02.03.2021 |
Introduzione al corso. Acustica, applicazioni. Pressione, densità, velocità; conservazione delle massa e della quantità di moto; linearizzazione delle equazioni di continuità e di Eulero. Derivazione dell'equazione delle onde \(\frac1{c^2}\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\Delta U=0\) per la pressione acustica. Esempio di soluzione: onda piana \(U(\mathbf x,t)=F(\mathbf x\cdot \mathbf d-ct)\). Condizioni al bordo: sound-soft, sound-hard, impedenza, trasmissione. |
1.1 |
| 2 | Giovedì 04.03.2021 |
Soluzioni armoniche in tempo, equazione di Helmholtz. Numero d'onda, ampiezza, fase. Condizioni al bordo per l'equazione di Helmholtz: sound-soft, sound-hard, impedenza. Equazione delle onde con smorzamento, equazione di Helmholtz con numero d'onda immaginario. Relazione con la trasformata di Fourier in tempo. Equazioni di Maxwell in tempo e armoniche in tempo. Formulazione delle equazioni di Maxwell armoniche in tempo come equazione di secondo grado per il campo elettrico \(\mathrm{curl\,curl\,}\mathbf{E}-k^2\mathbf{E}=\mathbf{0}\). Condizioni al bordo: PEC e di impedenza. Le componenti di una soluzione di Maxwell sono soluzioni di Helmholtz, ma un problema al bordo di Maxwell non si può risolvere come tre problemi al bordo di Helmholtz; esempio. In due dimensioni le equazioni di Maxwell si riducono a quella di Helmholtz: TM e TE modes. |
1.2 1.3 |
| 3 | Martedì 09.03.2021 |
Equazione di Navier dell'elastodinamica lineare; caso armonico in tempo. Potenziale scalare e vettoriale, onde di pressione e onde trasversali. Acustica come caso limite dell'elasticità. Soluzioni dell'equazione di Helmholtz in 1D e in 2D. Onde piane, propagative e stazionarie. Onde evanescenti. Funzioni di Bessel e di Hankel, onde circolari. Funzioni di Herglotz. |
1.4 2.1 2.2 2.3 |
| 4 | Giovedì 11.03.2021 |
Domini Lipschitz. Spazi di Sobolev su domini Lipschitz. Spazi di Sobolev frazionari sul bordo di un disco e di un dominio Lipschitz. Prodotto di dualità. Operatori e teorema di traccia. Prima e seconda identità di Green. |
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| 5 | Martedì 16.03.2021 |
Riflessione di onde piane da semipiani con condizioni di Dirichlet, Neumann e impedenza. Notazione per problemi al bordo in domini illimitati. Esempio: scattering da parte di un disco sound-soft. Selezione delle onde che si propagano verso l'esterno. Condizione di Sommerfeld. Problema di scattering sound-soft e problema di Dirichlet esterno. |
4.1 4.3.1 4.3.2 |
| 6 | Giovedì 18.03.2021 |
Problema di scattering sound-soft: problemi troncati, far-field pattern. Soluzione fondamentale \(\Phi_k(\mathbf{x},\mathbf{y})\) dell'equazione di Helmholtz. Single-layer potential \(\mathcal{S}\), single-layer operator \(S\), relazione attraverso la traccia. Single-layer BIE \(S\psi=g_D\), formula di rappresentazione \(u=\mathcal{S}\psi\). Forma variazionale della BIE. Metodo BEM: BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Termini noti e matrici. Sistema lineare denso, non-simmetrico. Riduzione dimensionale rispetto al metodo FEM. |
5.1 5.2 |
| 7 | Martedì 23.03.2021 |
Ripasso dell'ultima lezione. Quadratura per BEM-collocazione e BEM-Galerkin. Risoluzione delle oscillazioni. Descrizione del progetto da implementare. |
5.2.1 5.2.2 |
| 8 | Giovedì 25.03.2021 |
Descrizione del progetto BEM: possibili estensioni. Problemi variazionali (\(u\in H,\mathcal{A}(u,w)=\mathcal{F}(w)\;\forall w\in H\)) non coercivi: operatori compatti e di Fredholm, alternativa di Fredholm, disuguaglianza di Garding, conseguenze. BVPs in domini limitati. Problema di Dirichlet per Helmholtz in domini limitati: autofunzioni, disuguaglianza di Garding, decomposizione dell'operatore e della forma sesquilineare in parte invertibile (Laplace) e parte compatta. |
3.5 4.2 |
| 9 | Martedì 30.03.2021 |
Ripasso sul problema di Dirichlet in un dominio limitato e autofunzioni. Problema di Helmholtz con condizioni di impedenza. Formula di rappresentazione integrale di Green in un limitato. Buona posizione del problema al bordo di impedenza. Rappresentazione integrale di Green per soluzioni esterne. Rappresentazione integrale di Green sul bordo. Double-layer potential e operator: definizioni e proprietà. |
4.2 5.3 |
| 10 | Giovedì 08.04.2021 |
Rappresentazione integrale di Green in termini di potenziali e operatori integrali. Formula della traccia di Dirichlet del potenziale di double layer. Adjoint double-layer e hypersingular operator. Tracce dei due potenziali, formule dei salti e delle medie, mappe tra spazi \(H^{\pm1/2}(\Gamma)\). Derivazione delle formule \((\mathcal{S}\psi)|_{\Omega_-}=-u^{Inc}|_{\Omega_-}\) e \(\psi=-\partial_n^+u^{Tot}\) per la soluzione \(\psi\) dell'equazione integrale. Esempio di densità \(\psi\) per un problema di scattering. Calcolo del far-field pattern. Stima dell'errore del metodo BEM usando il valore del potenziale nello scatterer. L'operatore di single-layer \(S\) è iniettivo se e solo se \(k^2\) non è autovalore di Dirichlet in \(\Omega_-\). Buona posizione o meno dell'equazione integrale, risonanze spurie, conseguenze per il metodo BEM. |
5.4 5.5 5.5.1 5.6.1 |
| 11 | Martedì 13.04.2021 |
Operatori di single-layer per l'equazione di Laplace e di reazione-diffusione. La differenza tra operatori di single-layer è compatta (sketch). L'operatore di single-layer per l'equazione di diffusione-reazione è coercivo, quindi invertibile. L'operatore di single-layer per l'equazione di Helmholtz è Fredholm. Buona posizione dell'equazione integrale lontano dalle risonanze spurie. Tentativi di costruire un'equazione integrale ben posta per ogni numero d'onda. Equazione integrale con il double-layer. Due equazioni integrali dirette, del primo e del secondo tipo. Equazione di Brackhage-Werner: buona posizione. |
5.6.2 5.6.4 5.6.5 5.7.1 5.7.2 5.7.3 |
| 12 | Giovedì 15.04.2021 |
Burton-Miller combined field equation e riassunto delle 6 BIEs per il problema di Dirichlet esterno. Argomento di Schatz astratto per problemi variazionali (iniettivi) che soddisfano una disuguaglianza di Garding: il metodo di Galerkin è ben posto e quasi-ottimale se lo spazio discreto è sufficientemente fine. Problema aggiunto, parametro \(\eta\) di approssimablità aggiunta, condizione di soglia. Elementi finiti lineari per il problema di Dirichlet in un limitato; uso delle proprietà di approssimazione dello spazio discreto, stabilità e regolarità del problema aggiunto per dimostrare la quasi-ottimalità per \(h\) piccolo. Dipendenza della soglia dal numero d'onda \(k\), pollution effect, dimostrazione numerica in 1D. Analisi del metodo BEM per l'equazione del single-layer: disuguaglianza di Garding in \(H^{-1/2}(\Gamma)/H^{-1}(\Gamma)\), problema aggiunto, buona posizione per \(h\) piccolo (sketch). |
5.7.4 5.8 5.8.1 5.8.2 |