| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/CdM2024/CdM2024.html |
| Pagina ufficiale: | https://unipv.coursecatalogue.cineca.it/insegnamenti/2024/9449/2015/1/10139 |
| Corso di laurea: | Laurea Magistrale in Ingegneria per l’ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile |
| Semestre: | Autunno 2024 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Lezioni: | Martedì 9-11, E6 |
| Mercoledì 11-13, E6 | |
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Le registrazioni delle lezioni del 2020 sono disponibili sulla pagina Kiro/Panopto del corso: https://elearning.unipv.it/course/view.php?id=7607 | |
| Ricevimento: | Su appuntamento. |
| Dispense (Prof. Marini): | Link al pdf |
| Approfondimenti: | S. Salsa. Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni. Springer, terza edizione, 2016. |
| A. Quarteroni. Modellistica numerica per problemi differenziali. Springer, sesta edizione, 2016. | |
| Appelli d'esame: | Lunedì 3.2.2025, 10:00, A1 |
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Venerdì 21.02.2025, 10:00, A2 Lunedì 07.07.2025, 10:00, A4 Martedì 22.07.2025, 10:00, aula3 Venerdì 05.09.2025, 10:00, A3 Venerdì 19.09.2025, 10:00, A4 Tutti gli appelli si possono trovare a questo link. |
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| Modalità d'esame | L'esame prevede una prova scritta della durata di un'ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso. |
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La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente. Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale, in questo caso ogni esito è possibile. Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file (aggiornato a dicembre 2022). |
La prima parte del corso verrà tenuta dalla Prof. Francesca Gardini.
Il sommario del programma svolto verrà caricato dopo ogni lezione.| 1 | Mar 12.11.2024 |
Teorema di Lax-Milgram: ripasso. Esercizio: verifica delle ipotesi del teorema di Lax-Milgram per un problema al bordo in una dimensione. |
5.6 |
| 2 | Mer 13.11.2024 |
Applicazione del teorema di Lax-Milgram al problema di Dirichlet: ripasso. Applicazione del teorema di Lax-Milgram al problema di Neumann (ES2/ES2g). Modello di diffusione di una sostanza o del calore: equazioni di continuità, di Fick e del calore. Problema modello 1D come problema di diffusione nel caso stazionario. Approssimazione delle derivate di una funzione con differenze finite. Rapporto incrementale destro e sinistro. Stima dell'errore attraverso l'espansione di Taylor, errore lineare. Interpretazione geometrica delle differenze finite come coefficienti angolari di rette secanti. Rapporto incrementale centrale. |
5.6.4 5.6.5 6.1.1 6.1.2 |
| 3 | Mar 19.11.2024 |
Differenze finite: ripasso Errore quadratico del rapporto incrementale centrale. Approssimazione della derivata seconda: rapporto incrementale secondo, errore quadratico. Metodo delle differenze finite per il problema modello 1D. Forma matriciale del metodo delle differenze finite. Matrice sparsa e tridiagonale. Sistema lineare ridotto. Invertibilità della matrice delle differenze finite. Richiamo sulle norme vettoriali e matriciali. Errore di consistenza (troncamento) per il metodo delle differenze finite. |
6.1.3 6.1.4 |
| 4 | Mer 20.11.2024 |
Ripasso: metodo delle differenze finite per il problema modello, forme matriciali. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite, convergenza quadratica. Estensione al caso con un termine di reazione o condizioni al bordo non omogenee. Esempio di codice Matlab per il metodo delle differenze finite. Effetto della rappresentazione dei numeri in precisione macchina sulle differenze finite, errore di arrotondamento. Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Spazio dei polinomi lineari a tratti. Metodo di Galerkin, derivazione della forma matriciale. |
6.2 |
| 5 | Mar 26.11.2024 |
Il metodo di Galerkin per il problema modello in una dimensione, metodo degli elementi finiti. Spazio dei polinomi lineari a tratti: funzioni di base (a tenda). Forma matriciale del metodo degli elementi finiti lineari, calcolo della matrice di stiffness e del termine noto. Come cambia la formulazione e la matrice del metodo degli elementi finiti per un problema di diffusione e reazione (\(-u''+pu=f\)), calcolo della matrice di massa. |
6.2 |
| 6 | Mer 27.11.2024 |
Metodo di Galerkin per un problema variazionale. Specializzazione al problema modello in una dimensione. Buona posizione del metodo attraverso Lax-Milgram. Ortogonalità di Galerkin, stima di quasi-ottimalità, stime di interpolazione e di convergenza. Condizioni al bordo non omogenee. |
6.2.1 |
| 7 | Mar 3.12.2024 |
Differenze finite per il problema di Poisson \(-\Delta u=f\) su un poligono \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), con condizioni di Dirichlet \(u=0\) su \(\partial\Omega\); sistema lineare e fill-in.
Elementi finiti per lo stesso problema. Forma variazionale del problema, metodo di Galerkin, forma matriciale, triangolazione e spazio dei polinomi a tratti. Elementi finiti lineari. Le funzioni lineari a tratti sono determinate dai valori nei nodi. Funzioni di base a tenda. |
6.2.3 |
| 8 | Mer 4.12.2024 |
Elementi finiti per il problema di Poisson \(-\Delta u=f\) su un poligono \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), con condizioni di Dirichlet \(u=0\) su \(\partial\Omega\). Buona posizione e stabilità del metodo di Galerkin, ortogonalità di Galerkin, ottimalità. Cenni alle stime di approssimazione per spazi di polinomi a tratti. Sparsità della matrice di stiffness. Assemblaggio della matrice di stiffness. Calcolo della matrice locale. Formule di quadratura sui triangoli, calcolo del vettore termine noto locale con le diverse formule di quadratura. |
6.2.2 6.2.4 6.2.5 |
| 9 | Mar 10.12.2024 | Laboratorio informatico - dipartimento di matematica Elementi finiti in una dimensione per un problema di diffusione e uno di diffusione-reazione, calcolo dell'errore e plot di convergenza. |
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| 10 | Mer 11.12.2024 |
Struttura dati (vettori x, y e matrice NOD) per il metodo degli elementi finiti in 2 dimensioni. Assemblaggio della matrice di stiffness globale e del termine noto. Imposizione delle condizioni al bordo. Problema di Neumann con termine di reazione, calcolo della matrice di massa. Problemi parabolici: equazione del calore su un intervallo spaziale con condizioni di Dirichlet omogenee. Separazione delle variabili: soluzione del problema con dato iniziale sinusoidale; soluzione con dato iniziale generale. |
6.2.6 7.1 |
| 11 | Mar 17.12.2024 |
Equazione del calore: stima dell'energia, unicità e stabilità del problema di Dirichlet in una dimensione.
Formulazione variazione in una e più dimensioni. Semi-discretizzazione con il metodo di Galerkin: elementi finiti lineari in spazio. Sistema di equazioni differenziali ordinarie. Discretizzazione in tempo: il theta-metodo. Tre casi importanti: il metodo di Eulero esplicito, il metodo di Eulero implicito, il metodo di Crank-Nicolson. Breve discussione della stabilità e dell'accuratezza di questi metodi. |
7.1.1 7.1.2 7.2 7.3 |
| 12 | Mer 18.12.2024 | Laboratorio informatico - dipartimento di matematica Elementi finiti lineari in due dimensioni per un problema di Dirichlet, assemblaggio e risoluzione. |