| Docente: | Andrea Moiola |
| https://euler.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | https://euler.unipv.it/moiola/T/CdM2020/CdM2020.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=341575 |
| http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?idAttivitaFormativa=341532 | |
| Corso di laurea: | Laurea Magistrale in Ingegneria per l’ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile |
| Semestre: | Autunno 2020 |
| Crediti formativi: | 6 |
| Lezioni: | Lunedì 9:30-11, E1 |
| Martedì 9:30-11, E1 | |
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Sarà possibile partecipare alle lezioni attraverso la piattaforma Zoom. Le registrazioni delle lezioni saranno rese disponibili su Google Drive. I link Zoom e Google Drive sono disponibili sulla pagina Kiro del corso: https://elearning2.unipv.it/ingegneria/course/view.php?id=421 | |
| Ricevimento: | Su appuntamento, anche da remoto. |
| Dispense (Prof. Marini): | http://arturo.imati.cnr.it/marini/complementi/ |
| Appelli d'esame: | Lunedì 8.2.2021, 9:00, A1 |
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Venerdì 26.2.2021, 09:00, aula 3 Mercoledì 31.3.2021, 14:00, aula 4 (appello straordinario) Lunedì 28.6.2021, 9:00, aula 3 Mercoledì 14.7.2021, 9:00, aula 3 Giovedì 2.9.2021, 9:00, A3 Giovedì 16.9.2021, 9:00, A3 Tutti gli appelli si possono trovare a questo link. | |
| Modalità d'esame | L'esame in presenza prevede una prova scritta della durata di un'ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso. |
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La prova scritta si intende superata se la votazione è maggiore o uguale a 18/30. La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente. Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale. Resta inteso che qualunque esito è possibile nel momento in cui lo studente decida di presentarsi anche alla prova orale. | |
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Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file (aggiornato a dicembre 2020).
Gli studenti che intendono sostenere l'esame a distanza lo possono sostenere in forma orale con le modalità descritte in questo documento. Gli studenti che scelgono la prova orale a distanza sono pregati di contattare i docenti con congruo anticipo. |
La prima parte del corso verrà tenuta dalla Prof. Marini.
Il "Corso propedeutico di rivisitazione di elementi di programmazione scientifica - Essentials of scientific computing" (25 settembre - 23 ottobre) può essere utile per ripassare alcuni concetti vicini a quelli del corso.
Per informazioni e iscrizioni:
http://webing.unipv.eu/essentials-of-scientific-computing-corso-propedeutico-di-rivisitazione-di-elementi-di-programmazione-scientifica/
| Lun 9.11.2020 | Problema modello per l'equazione differenziale \(-u''=f\) su \((0,L)\) con condizioni di Dirichlet \(u(0)=u(L)=0\). Problema modello come caso semplificato in diverse applicazioni: barra elastica in trazione, filo elastico, diffusione di calore, diffusione di una sostanza, elettrostatica. Approssimazione delle derivate di una funzione con differenze finite. Rapporto incrementale destro, sinistro, centrale. Stima dell'errore attraverso l'espansione di Taylor; errore lineare e quadratico. Interpretazione geometrica delle differenze finite come coefficienti angolari di rette secanti. |
| Mar 10.11.2020 |
Approssimazione della derivata seconda: rapporto incrementale secondo; errore quadratico. Metodo delle differenze finite per il problema modello. Forme matriciali del metodo delle differenze finite. La matrice delle differenze finite è invertibile e definita positiva. Errore di consistenza. Richiamo sulle norme vettoriali e matriciali. Stima dell'errore commesso dal metodo delle differenze finite. Stabilità del metodo. Esempio di codice Matlab per il metodo delle differenze finite, convergenza quadratica. |
| Lun 16.11.2020 |
Il metodo degli elementi finiti per il problema modello in una dimensione. Metodo di Galerkin per un problema variazionale. Spazio dei polinomi a tratti. Funzioni di base (a tenda) per lo spazio delle lineari a tratti. Riduzione del metodo degli elementi finiti a un sistema lineare. Forma matriciale del metodo degli elementi finiti lineare. Buona posizione del metodo attraverso Lax-Milgram. Errore di consistenza e ortogonalità di Galerkin. |
| Mar 17.11.2020 |
Metodo degli elementi finiti per il problema modello 1D: stime di ottimalità, di interpolazione e di convergenza.
Come cambiano le matrici dei metodi delle differenze finite e degli elementi finiti per un problema di diffusione e reazione (\(-u''+qu=f\)). Metodo delle differenze finite per un problema al bordo di Dirichlet in 2 dimensioni su un quadrato (solo cenni). Elementi finiti per il problema di Poisson \(-\Delta u=f\) su un poligono \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\), con condizioni di Dirichlet \(u=0\) su \(\partial\Omega\): triangolazione e spazio discreto. |
| Lun 23.11.2020 |
Ripasso: problema di Dirichlet per il Laplaciano su un poligono, forma variazionale, lemma di Lax-Milgram, metodo di Galerkin. Buona posizione del metodo di Galerkin, ortogonalità di Galerkin, lemma di Céa, costanti di quasi-ottimalità per due scelte della norma \(V\). Cenni alle stime di approssimazione. Elementi finiti lineari. Le funzioni lineari a tratti sono determinate dai valori nei nodi. Funzioni di base a tenda. Derivazione della forma matriciale del metodo degli elementi finiti. |
| Mar 24.11.2020 |
Elementi finiti lineari 2D: proprietà della matrice di stiffness, simmetria e sparsità.
Assemblaggio della matrice di stiffness. Calcolo della matrice locale. Formule di quadratura sui triangoli per il calcolo del vettore termine noto. |
| Lun 30.11.2020 |
Ripasso: elementi finiti lineari per il problema di Dirichlet 2D. Calcolo del vettore termine noto locale con le diverse formule di quadratura. Struttura dati (vettori x, y e matrice NOD) per il metodo degli elementi finiti. Assemblaggio della matrice di stiffness globale; esempio. Imposizione delle condizioni al bordo. Esempio di un semplice codice agli elementi finiti in Matlab, alcune simulazioni. |
| Mar 1.12.2020 |
Problema di Neumann con termine di reazione. Calcolo della matrice di massa. Diffusione di una sostanza: equazioni di continuità, legge di Fick, equazione del calore. |
| Lun 14.12.2020 |
Problemi parabolici: equazione del calore su un intervallo spaziale con condizioni di Dirichlet omogenee. Separazione delle variabili: soluzione del problema con dato iniziale sinusoidale; soluzione con dato iniziale generale. Stima dell'energia, stabilità, unicità. Problema parabolico in due dimensioni spaziali, Laplaciano e condizioni di Dirichlet, forma variazionale. Forma variazionale di un problema parabolico astratto. |
| Mar 15.12.2020 |
Problema ai valori iniziali per l'equazione del calore con condizioni di Dirichlet: ripasso della forma forte e della formulazione variazionale, in 1 e 2 dimensioni spaziali. Semi-discretizzazione con il metodo di Galerkin: elementi finiti lineari in spazio. Ripasso: calcolo esplicito della matrice di massa per gli elementi finiti in una dimensione. Sistema di equazioni differenziali ordinarie \(\mathbf{M}\partial_t\vec U+\mathbf{A}\vec U=\vec F\). Differenze finite in tempo, theta-metodo e casi particolari: Eulero esplicito ed implicito, Crank-Nicolson. Alcuni esempi numerici. |
| Lun 11.1.2021 | Risposte a domande da parte degli studenti |
| Mar 12.1.2021 | Risposte a domande da parte degli studenti |