| Docente: | Andrea Moiola |
| http://matematica.unipv.it/moiola | |
| Email: | andrea.moiola@unipv.it |
| Telefono: | +39 0382 985656 |
| Ufficio: | E15, Dipartimento di Matematica |
| Pagina del corso: | http://matematica.unipv.it/moiola/CdM2019/CdM2019.html |
| Pagina ufficiale: | http://www-4.unipv.it/offertaformativa/prod/corso.php?lingua=1&idAttivitaFormativa=303965 |
| Corso: | Laurea Magistrale in Ingegneria per l’ambiente e il territorio e Laurea Magistrale in Ingegneria civile |
| Lezioni: | Lunedì 9-11, E1 |
| Martedì 9-11, E8 | |
| Semestre: | Autunno 2019 |
| Ricevimento: | Su appuntamento |
| Crediti formativi: | 6 |
| Dispense (Prof Marini): | http://arturo.imati.cnr.it/marini/complementi/ |
| Appelli d'esame: | Lunedì 3.2.2020, 10:00, aula 6 |
| Venerdì 28.2.2020, 09:00, aula 3 -
Rimandato e convertito in orale a distanza. Martedì 16.6.2020 - convertito in orale a distanza Martedì 7.7.2020 - convertito in orale a distanza Venerdì 4.9.2020, 9:00, aula 3 Venerdì 25.9.2020, 9:00, aula 4 | |
| Modalità d'esame | L'esame prevede una prova scritta della durata di 1 ora, consistente nello sviluppo di due domande riguardanti il programma del corso. |
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La prova scritta si intende superata se la votazione è maggiore o uguale di 18/30. La risposta a una sola delle due domande, anche se positiva, non è considerata sufficiente. Lo studente ha facoltà di accettare il voto proposto nella prova scritta o di sostenere una prova orale. Resta inteso che qualunque esito è possibile nel momento in cui lo studente decida di presentarsi anche alla prova orale. | |
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Esempi di domande d'esame si possono trovare in questo file.
ATTENZIONE: gli appelli di settembre 2020 saranno in forma di prova scritta in presenza secondo le solite modalità. Gli studenti che preferiscono sostenere l'esame a distanza lo possono sostenere in forma orale con le stesse modalità degli appelli di giugno e luglio, descritte in questo documento. Gli studenti che scelgono la prova orale a distanza sono pregati di contattare i docenti con congruo anticipo. |
La seconda parte del corso verrà tenuta dalla prof. Marini.
| Lun 30.09.2019 |
Presentazione del corso.
Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Ordine di un'equazione differenziale. Equazioni stazionarie e di evoluzione. Esempi. Richiami di calcolo vettoriale: gradiente, divergenza, Laplaciano. Forma generale di un'equazione differenziale di ordine 2. Equazioni lineari; omogenee e non-omogenee; a coefficienti costanti e a coefficienti variabili. Equazioni non-lineari, quasi-lineari e semi-lineari. Esempi. |
| Mar 1.10.2019 |
Esempi applicativi di equazioni alle derivate parziali: equazione di diffusione-trasporto-reazione (calore, Poisson, Laplace, estensioni lineari e non-lineari), equazioni di Navier-Stokes (comprimibile e non, Eulero, Stokes), equazioni dell'acqua bassa 1+1D (linearizzazione: equazione delle onde), elastodinamica e elastostatica lineare. Problemi ben posti: esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati. Definizioni delle norme \(\ell^p\) per vettori e \(L^p\) per funzioni, \(p=1,2,\infty\). Esempio: buona posizione di un sistema algebrico lineare. Esempio: buona posizione di un problema al bordo lineare. |
| Lun 7.10.2019 |
Equazione di trasporto \(u_t+cu_x=f\). Problema di Cauchy per \(x\in\mathbb{R},t>0\). Problema omogeneo \(f=0\). Linee caratteristiche. Dipendenza continua dal dato iniziale, norma \(L^\infty(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^+)\). Problema non omogeneo. Caso di una forzante costante \(f=1\). Caso di una forzante \(f(t)\) dipendente solo dal tempo. Esempi. Dipendenza continua dai dati in norma \(L^\infty(\mathbb{R})\) ad un tempo \(T>0\). Caso di una forzante \(f(x)\) dipendente solo dalla posizione \(x\). |
| Mar 8.10.2019 |
Equazione di trasporto. Ancora sul caso di una forzante \(f(x)\) dipendente solo dalla posizione \(x\): verifica della formula risolutiva; esempio. Caso di una forzante \(f\) dipendente sia dalla posizione che dal tempo \(f(x,t)\). Caso con velocità non costante \(c(x)\) (con \(f=0\)). Esempi \(c(x)=\begin{cases}0&x\lt0,\\1&x\ge0,\end{cases}\) \(c(x)=\begin{cases}1&x\lt0,\\0&x\ge0,\end{cases}\) \(c(x)=\begin{cases}0&x\lt0,\\x&0\le x\lt1,\\1&x\ge1,\end{cases}\) \(c(x)=\begin{cases}1&x\lt0,\\1-x&0\le x\lt1,\\0&x\ge1.\end{cases}\) Cenni al caso non-lineare: equazione di Burgers \(u_t+uu_x=0\), formazione di shocks, relazione con equazioni di Eulero e Navier-Stokes. Problema ai limiti per l'equazione del trasporto. Soluzione nel caso \(c>0\). |
| Lun 14.10.2019 |
Problema ai limiti per l'equazione del trasporto: soluzione nel caso \(c\lt0\). Buona posizione: unicità e dipendenza continua dai dati in norma \(L^\infty\). Esempio con \(c=5,u_0(x)=\cos x,g^S(t)=\cos t\). Soluzione continua ma non liscia. Forma generale di un'equazione alle derivate parziali lineare del secondo ordine in due variabili: \(au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y+fu=g\). Ripasso: formula generale di una conica \((ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0)\), classificazione in ellissi, parabole e iperboli in base al discriminante. Coniche degeneri. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine in due variabili: ellittiche, paraboliche e iperboliche. Esempi modello: equazione di Poisson (e Laplace), del calore e delle onde. Equazione delle onde in una dimensione spaziale: \(u_{tt}-c^2u_{xx}=0\). Derivazione dal modello della corda vibrante. Problema di Cauchy in \(\{x\in\mathbb{R},t>0\}\). Operatore delle onde come composizione di due operatori di trasporto. |
| Mar 15.10.2019 |
Operatore delle onde come composizione di due operatori di trasporto: le funzioni nella forma \(u(x,t)=\varphi(x+ct)+\psi(x-ct)\) sono soluzioni. Derivazione della formula di d'Alembert. Formula di d'Alembert in termini di \(u_0\) e della primitiva \(U_1\) del dato iniziale \(u_1\): tutte le soluzioni del problema di Cauchy sono somma di due onde che si propagano in direzione opposta, \(\varphi=\frac{u_0}2+\frac{U_1}{2c}\), \(\psi=\frac{u_0}2-\frac{U_1}{2c}\). Dominio di dipendenza e dominio di influenza. Velocità finita di propagazione di una perturbazione. Esempi euristici di soluzioni del problema di Cauchy. Richiami sulla delta di Dirac. Soluzione fondamentale \(G(x,t)\) dell'equazione delle onde: problema di Cauchy di cui è soluzione, forma esplicita di \(G\), \(\int_{\mathbb R}G(x,t)dx=t\) indipendentemente da \(c\). Uso della soluzione fondamentale per calcolare la soluzione di un problema di Cauchy: \(u(x,t)=\int_{\mathbb R}u_1(y)G(x-y,t)dy+\frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathbb R}u_0(y)G(x-y,t)dy\). Equazione delle onde sulla semiretta \(\{x>0\}\) (solo iniziato). |
| Lun 21.10.2019 |
Equazione delle onde sulla semiretta \(\{x>0\}\). Per scrivere \(u(x,t)=\varphi(x+ct)+\psi(x-ct)\) in \(0\lt x\lt ct\) definiamo \(\psi(-z)=-\varphi(-z)\) per ogni \(z>0\). Espressione della soluzione attraverso l'estensione dispari dei dati iniziali \(u_0,u_1\). Riflessione delle curve caratteristiche in \(x=0\) e cambio di segno delle onde riflesse. Equazione delle onde sull'intervallo limitato \(x\in(0,L)\). Riflessione delle curve caratteristiche in \(x\in\{0,L\}\) e cambio di segno delle onde riflesse. Estensione dispari e \(2L\)-periodica dei dati iniziali. Metodo dell'energia: il valore del funzionale \(E(t)\) per la soluzione del problema in \((0,L)\) è indipendente dal tempo. Stabilità: unicità e dipendenza continua dai dati. Estensione del metodo dell'energia al problema di Cauchy su \(\mathbb R\) per dati iniziali a supporto compatto (cioè \(u_0(x),u_1(x)=0\) per \(|x|>x_{\max}\)). Esempi: soluzione di un problema di Cauchy su \(\mathbb R\) e di un problema sulla semiretta \(\{x>0\}\). |
| Mar 22.10.2019 |
Ripasso di calcolo vettoriale in 2 dimensioni. Gradiente, divergenza, Laplaciano. Teorema della divergenza; relazione con il teorema fondamentale del calcolo. Formula della divergenza del prodotto tra un campo scalare e uno vettoriale. Formula di Gauss-Green; dimostrazione e relazione con la formula di derivazione per parti. Integrazione per parti per il Laplaciano. Equazione delle onde in 2 dimensioni spaziali: \(u_{tt}-c^2\Delta u=0\). Conservazione del funzionale dell'energia per il problema su un quadrato \(Q\), con condizioni \(u(\mathbf x,t)=0\) per \(\mathbf x\in\partial Q\), \(t>0\). Unicità della soluzione e stabilità. Onde piane \(u(\mathbf{x},t)=\psi(\mathbf{x}\cdot\mathbf{d}-ct)\) per \(\|\mathbf d\|=1\). Onde circolari \(u(\mathbf{x},t)=\psi(\|\mathbf{x}\|-ct)/\|\mathbf x\|^{1/2}\). Cenni al metodo di separazione delle variabili per il problema in una dimensione con \(x\in(0,L)\): soluzioni \(u_j(x,t)=\sin(\frac\pi L j x)[A_j\cos(\frac{\pi c}L jt)+B_j\sin(\frac{\pi c}L jt)]\) per \(j\in\mathbb N\). |
| Lun 28.10.2019 |
Richiami di algebra lineare: spazi vettoriali, funzionali lineari e applicazioni bilineari. Norme e spazi vettoriali normati. Esempi in \(\mathbb R^n\) e in \(C^0([a,b])\). Continuità di funzionali lineari, spazio duale \(V'\), norme duali, continuità di un'applicazione bilineare. Equazione di Poisson \(-\Delta u=f\) su un dominio \(\Omega\subset\mathbb R^2\). Condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. |
| Mar 29.10.2019 |
Esempi (ES1-ES4) di problemi al bordo ellittici su \(\Omega\subset\mathbb R^2\), con condizioni al bordo omogenee, in forma forte. Derivazione della formulazione variazionale, o forma debole, per (ES1). Scrittura della formulazione variazionale in astratto, usando una forma bilineare, un funzionale lineare, spazio trial e spazio test (spazi ancora da definire). Condizioni forzate (o essenziali) e condizioni naturali. Richiami di analisi funzionale. Spazi pre-Hilbertiani. Definizione. Esempio: ogni forma bilineare in \(\mathbb R^n\) si può scrivere \(a(\mathbf u,\mathbf v)=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n u_j A_{j,k}v_k\) per una matrice \(\mathbf A\in\mathbb R^{n\times n}\); \(a(\cdot,\cdot)\) è un prodotto scalare se \(\mathbf A\) è simmetrica e definita positiva. Norma su uno spazio pre-Hilbertiano. Non tutti gli spazi normati sono pre-Hilbertiani: esempio in \(\mathbb R^2\) con norme \(p\ne2\). Prodotto scalare canonico \((\mathbf u,\mathbf v)_{\mathbb R^n}=\sum_{j=1}^n u_j v_j\) in \(\mathbb R^n\). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Dimostrazione. Spazi di Hilbert. Definizione. Definizione di limite in uno spazio vettoriale normato e di successione di Cauchy. |
| Lun 4.11.2019 |
Richiamo di quanto fatto: problema al bordo di Dirichlet, problema variazionale, vogliamo definire degli spazi funzionali su cui siano definite \(a(\cdot,\cdot)\) e \(\ell(\cdot)\).
Spazio \(L^2(\Omega)\): definizione, prodotto scalare, norma. Esempi di funzioni che appartengono o meno a \(L^2(0,1)\) e \(L^2((0,1)^2)\). Verifica delle proprietà di \(L^2(\Omega)\). Spazi \(H^1(\Omega)\) e \(H^1_0(\Omega)\): definizione, norma, prodotto scalare. Spazio delle funzioni test \(C^\infty_0(a,b)\), definizione di derivata debole in \(L^2(a,b)\). Esempio per \(u(x)=1-|x|\) in \((-1,1)\); la derivata debole di funzioni continue e lisce a tratti coincide con quella classica calcolata a tratti. Caso 2-dimensionale: definizione di \(C^\infty_0(\Omega)\) e derivate parziali deboli. |
| Mar 5.11.2019 |
Richiamo: spazi \(L^2(\Omega)\), \(H^1(\Omega)\) e \(H^1_0(\Omega)\). Disuguaglianza di Poincaré; dimostrazione in una dimensione. Equivalenza tra \(\|v\|_{H^1(\Omega)}\) e \(\|\nabla v\|_{L^2(\Omega)}\) in \(H^1_0(\Omega)\). Estensione al caso \(H^1_{0,\Gamma_D}(\Omega)\). Derivazione delle formulazioni variazionali dei problemi al bordo (ES1)-(ES4). Casi con condizioni al bordo omogenee e non-omogenee. Spazi vettoriali affini \(H^1_g(\Omega)\) e \(H^1_{g_D,\Gamma_D}(\Omega)\). Condizioni al bordo forzate e naturali. Scelte di \(V_{trial},V_{test},a(\cdot,\cdot),\ell(\cdot)\) nella formulazione variazionale astratta corrispondenti a ciascun problema (ES1)-(ES4). |
| ... | Lezioni tenute dalla prof. Marini. |
| Lun 16.12.2019 |
Elementi finiti in 2 dimensioni. Triangolazione del dominio, spazi di polinomi a tratti, problema variazionale discreto (metodo di Galerkin), buona posizione. Ortogonalità di Galerkin, lemma di Céa, stime d'interpolazione. Elementi finiti lineari. Gli elementi di \(V_h^1\) sono determinati dal valore nei vertici della mesh. Funzioni di base (a tenda), sistema lineare corrispondente al metodo. Caso modello: equazione di Poisson con condizioni al bordo di Dirichlet omogenee. Matrice di stiffness locale: calcolo del gradiente delle funzioni di base. |
| Mar 17.12.2019 (dipart. di matematica) |
Completamento del calcolo della matrice di stiffness locale. Costruzione del vettore termine noto, tre diversi metodi di quadratura. Struttura dati che descrive la triangolazione. Algoritmo di assemblaggio del sistema lineare. Trattamento delle condizioni al bordo di Dirichlet. Estensione al problema di diffusione-reazione con condizioni di Neumann, matrice di massa. Problemi parabolici: equazione del calore in un intervallo spaziale con condizioni di Dirichlet omogenee. Separazione delle variabili: soluzione del problema con dato iniziale sinusoidale. |
| Lun 7.1.2020 |
Separazione delle variabili per problemi parabolici: soluzione del problema con dato iniziale generale. Stima dell'energia, unicità, stabilità. Problema parabolico in due dimensioni spaziali, forma variazionale. Discretizzazione con elementi finiti, theta-metodo e casi particolari: Eulero esplicito ed implicito, Crank-Nicolson. |