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Categoria VI

Modelli di geometria differenziale
[P], [HC], [MWC], [F]

In questa categoria sono raggruppati diversi tipi di superficie. I modelli da VI-1 a VI-14  rappresentano superficie quadriche sulle quali sono segnate linee di curvatura, geodetiche e altre curve non specificate nei fascicoli in tedesco ad esse allegati. I modelli dal VI-17 al VI-23  fanno parte di un gruppo di dodici tipi di superficie di rotazione con disegnate le curve asintotiche: "Zwölf Typen von Rotationsflächen mit aufgezeichneten Asymptoten-(Haupttangenten-) Curven" costruite da Gottlieb Herting sotto la direzione del Prof. Dr. Brill nel 1881. Di essi abbiamo riportato una parte della traduzione dell'opuscolo originale in tedesco, che descrive il gruppo completo. I modelli VI-15  e VI-16  sono modelli sperimentali configurati a forma di fagiolo, uno più grande e uno più piccolo, costruiti per la determinazione della curva parabolica, delle linee di curvatura e delle linee asintotiche. Il modello VI-29  è chiamato serpentino e rappresenta il luogo descritto da una circonferenza di raggio costante, che si muove mantenendo il suo centro sopra una curva a forma di elica circolare (e il piano a cui essa appartiene perpendicolare all'elica).
Tutte queste superficie descrivono proprietà studiate in quella branca della geometria, la geometria differenziale, che si occupa di analizzare le proprietà locali di curve e superficie (geometria differenziale in piccolo) e di dare condizioni per cui da proprietà che valgono in piccolo si possono dedurre proprietà globali di curve e superficie (geometria differenziale in grande).

Uno degli argomenti di base della geometria differenziale elementare è la descrizione delle proprietà locali di curvatura di una superficie regolare M nello spazio euclideo a 3 dimensioni. Un possibile approccio è il seguente: sia p un punto sulla superficie data, si consideri il piano T tangente ad M in p; si vede che ogni piano E passante per p e perpendicolare al piano tangente T taglia M in una curva piana . Chiamiamo la curvatura di calcolata nel punto p; quando , diamo a segno positivo se in qualche intorno di p la curva resta sotto il piano tangente ad M in p, segno negativo in caso contrario.
Si può vedere come ci siano solo due casi possibili:
(1) ha lo stesso valore per ogni piano E perpendicolare a T. In questo caso p è chiamato punto ombelicale.
(2) esistono due piani ed passanti per p e perpendicolari a T, determinati in modo univoco, tali che per ogni altro piano E passante per p e perpendicolare a T si ha la disuguaglianza . ed sono ortogonali fra loro.
Nel caso (2) le due curve e determinano su M due direzioni ortogonali nel punto p. Queste direzioni sono chiamate direzioni principali in p. I valori e sono dette curvature principali di M in p e misurano la massima e minima curvatura della superficie nel punto p. Se il punto p si chiama punto planare, se uno solo fra e è uguale a zero il punto p si chiama punto parabolico, se e sono diverse da zero e hanno segno opposto il punto p si chiama punto iperbolico, se e sono diverse da zero e hanno lo stesso segno il punto p si chiama punto ellittico.

In una regione di M che non contiene punti ombelicali le direzioni principali determinano due campi di direzioni ortogonali. Una curva M si dice linea di curvatura se la sua direzione tangente coincide dovunque con una delle direzioni principali. Ci sono dunque due linee di curvatura ortogonali fra loro per ogni punto non ombelicale di M. Le linee di curvatura sulla superficie M formano un sistema di due schiere di curve mutuamente ortogonali tali che ogni schiera copre la superficie semplicemente e senza lacune (si veda [HC] pag. 243).

I modelli VI-1, VI-2, VI-4, VI-5, VI-6 e VI-7 mostrano alcune linee di curvatura su diversi tipi di quadriche. I punti ombelicali non sono segnati sui modelli in gesso ma si può dedurre la loro posizione approssimata dal comportamento delle linee di curvatura: vicino ad un punto ombelicale del tipo descritto qui le linee di curvatura si comportano come in figura (fig 3.3 a pag 26 [F])

Esistono quadriche, come il cono, l'iperboloide ad una falda, il paraboloide iperbolico e il cilindro, che non hanno punti ombelicali; i paraboloidi ellittici hanno solo due punti ombelicali, mentre l'ellissoide e l'iperboloide a due falde hanno quattro punti ombelicali.

É da notare che su tutte le quadriche si trova almeno una famiglia di linee di curvatura chiuse. Su superficie arbitrarie non ci si può aspettare in generale un tale fenomeno, in quanto le linee di curvatura si ottengono risolvendo equazioni differenziali, per cui non c'è nessun motivo di aspettarsi che le curve soluzione siano chiuse.
L'esistenza di linee di curvatura chiuse sulle quadriche è collegato da vicino al fatto che ogni quadrica è contenuta in una famiglia ad un parametro di quadriche confocali che può essere descritta da un'equazione di secondo grado ad un parametro. Una tale famiglia ha la notevole proprietà che ci sono esattamente tre superficie della famiglia che passano per ogni punto p dello spazio; di più: queste tre quadriche si incontrano a coppie ortogonalmente in p, cioè i piani tangenti alle tre superficie nel punto p sono a coppie ortogonali. Una famiglia con questa proprietà viene chiamata sistema triplamente ortogonale.
Secondo un classico teorema di Dupin le superficie di un sistema triplamente ortogonale si tagliano reciprocamente lungo linee di curvatura, cioè la curva intersezione di due superficie della famiglia è una linea di curvatura su entrambe le superficie.

[MWC] Teorema di Dupin: in un sistema triplamente ortogonale di superficie le linee di curvatura su ogni superficie del sistema sono le sue intersezioni con le altre superficie del sistema.

In particolare le linee di curvatura su una quadrica possono essere rappresentate come intersezione di due quadriche: ciò significa che esse sono curve algebriche nello spazio, di grado 4. Quindi, per trovare le linee di curvatura su di una quadrica si può considerare la sua intersezione con la famiglia di quadriche triplamente ortogonale a cui appartiene; essa sarà una famiglia di curve nello spazio, descritte al variare di un parametro. Per il teorema di Dupin queste sono le linee di curvatura sulla quadrica considerata.

Un altro tipo di linee di particolare importanza nello studio delle superficie in geometria differenziale sono le linee geodetiche. Esse sono le linee che minimizzano la distanza fra due punti di una superficie restando sulla superficie stessa. Una proprietà delle geodetiche è che, dato un punto p su una superficie e dato un vettore T tangente ad essa in p, esiste sempre una geodetica che passa per il punto p e che ha T come vettore tangente in p. Alcune geodetiche sembrano tracciate sui modelli VI-8,  VI-9,  VI-10,  VI-13  e VI-14.

Altre linee importanti sono le linee asintotiche. Esse sono le linee sulla superficie tali che in ogni loro punto il piano osculatore della linea stessa coincide con il piano tangente alla superficie. Si può verificare come, per le superficie a curvatura positiva non ci siano linee asintotiche, mentre le superficie a curvatura negativa sono coperte da una rete di tali linee. Per i modelli di superficie di rotazione da VI-17  a VI-23  la rete delle linee asintotiche si ottiene a partire da una di esse, facendola ruotare attorno all'asse di rotazione della superficie stessa.