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Categoria IV

Superficie del quarto ordine
[F], [H2]

Sono superficie che soddisfano un polinomio di quarto grado. Dette anche superficie quartiche, le superficie di quarto ordine nello spazio proiettivo complesso non sono ancora state classificate completamente. Secondo la classificazione birazionale delle superficie algebriche descritta ad esempio nell'opera di W. Barth, Chr. Peters e A. Van de Ven, Compact Complex Surfaces, Springer-Verlag 1984, esse appartengono al gruppo delle cosiddette superficie K3. Lo studio e la classificazione delle superficie K3 si sono sviluppati molto negli anni '80 ma questi risultati non hanno condotto direttamente alla classificazione delle superficie di quarto ordine nello spazio proiettivo tridimensionale. I diversi tipi di superficie quartiche sono alcune centinaia, ma sono stati fatti dei modelli solo di alcune superficie speciali, che hanno avuto un ruolo importante nello sviluppo della teoria generale delle superficie algebriche, oppure che sono interessanti per particolari simmetrie, o semplicemente perchè sono curiose da vedere.

In generale le superficie quartiche non sono razionali, tuttavia si può vedere che ogni quartica con una linea doppia è razionale. Una superficie (senza linee doppie) di grado 4 nello spazio proiettivo complesso può avere al più 16 punti doppi ordinari. Le superficie quartiche che hanno esattamente questo numero di punti doppi ordinari vengono dette Superficie di Kummer dal nome di E. Kummer che per primo le studiò, descrivendole nei suoi scritti Über die Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten, Collected Papers II, 418-432, e Über Strahlensysteme, deren Brennflächen Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten sind, Collected Papers II, 433-439. I 16 punti doppi su una superficie di Kummer formano una interessante configurazione nello spazio: esistono 16 piani, ognuno dei quali contiene 6 di questi punti doppi, e per ognuno dei 16 punti doppi passano 6 di questi piani. Le relazioni di incidenza fra i 16 punti doppi e i 16 piani sono le stesse per tutte le superficie di Kummer. Inoltre l'intersezione della superficie con ognuno di questi piani è data da una conica doppia; di più, questi piani sono tangenti alla superficie lungo questa conica, per questo si chiamano anche piani doppi.

Altre superficie quartiche che furono oggetto degli studi di Kummer sono una serie di superficie con simmetria tetraedrale, di cui Kummer costruì anche dei modelli con le sue mani e li presentò agli incontri della Preussische Akademie der Wissenschaften del 1863, 1866 e 1872, discutendone le proprietà. Nel 1883 Verlag Shilling produsse delle copie di questi modelli e usò come loro spiegazioni una ristampa degli scritti di Kummer presi dalla Monatsberichten della Akademie. Copie di questi modelli sono qui catalogati come IV-1, IV-2 e IV-3. Queste superficie fanno parte di una famiglia a due parametri di superficie date da un'equazione del tipo:

dove è l'equazione di una sfera e p q r s = 0 è l'equazione di un tetraedro regolare concentrico con la sfera. Qui p, q, r, s sono polinomi di primo grado in x, y, z e le quattro facce del tetraedro hanno equazioni:

p(x, y, z) = 0,   q(x, y, z) = 0,   r(x, y, z) = 0,   s(x, y, z) = 0

Il parametro determina il raggio della sfera , precisamente è il rapporto fra il raggio e la distanza degli spigoli del tetraedro dal centro della sfera. Interessanti singolarità si ottengono quando la sfera tocca il tetraedro. Si possono avere 6 punti doppi biplanari (di tipo ) quando la sfera tocca i punti medi degli spigoli del tetraedro, come si può vedere nei modelli IV-15, IV-16 e IV-17. Se la sfera passa per i vertici del tetraedro abbiamo un punto doppio uniplanare (di tipo ) in corrispondenza a ciascuno dei vertici, come possiamo vedere nei modelli IV-19 e IV-20. Ancora, si ottengono 12 punti doppi ordinari se la sfera taglia gli spigoli del tetraedro in due punti ciascuno, come possiamo vedere nel modello IV-18. Tutti questi tipi di singolarità e le loro posizioni dipendono dal parametro . Il parametro invece determina la forma della superficie con certe singolarità. In particolare Kummer studiò le superficie tali che tutti i punti reali della superficie appartengono allo spazio affine.
Quando la sfera interseca i 4 piani tetraedrali, lo fa lungo 4 cerchi che sono anche l'intersezione della superficie quartica con gli stessi 4 piani. Questi ultimi inoltre sono tangenti alla superficie lungo i cerchi di intersezione.
Per questa serie di modelli Kummer diede esplicitamente le equazioni ed i valori dei parametri, che possiamo ritrovare in [F] insieme ad una più dettagliata descrizione dei vari casi di superficie quartiche a simmetria tetraedrale al variare dei parametri e .

La superficie del modello IV-22 è chiamata Volta Boema, ed è particolare perchè è generata dal movimento di una conica lungo un'altra conica. Le superficie quartiche costruite in questo modo sono superficie razionali.
I modelli da IV-4 a IV-13 sono esempi di superficie quartiche chiamate Ciclidi di Dupin. Il modello IV-14 è un esempio di Ciclide generica. Una descrizione più approfondita di questi modelli è presentata nella descrizione delle singole superficie.

Altri tipi di superficie quartiche hanno simmetria cubica e sono state studiate da E. Goursat nel 1887 in Etude des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyédre régulier, Ann. Sci. Ec. Norm. sup (3) 4, 159-200 (1887). Questi studi vertevano sulle superficie nello spazio tridimensionale affine che erano invarianti per gruppi di simmetrie di un poliedro regolare e per il caso del cubo in Goursat scoprì che tutte le superficie quartiche con simmetria cubica possono essere descritte da un'equazione del tipo:

, con .

Altre particolari superficie quartiche possiedono solo 12 punti doppi, distribuiti in una particolare configurazione: otto punti sono i vertici del cubo unitario, un punto nel centro del cubo, e tre punti nei punti all'infinito corrispondenti alle direzioni degli spigoli del cubo. Questa configurazione, detta configurazione di Reye, è invariante per l'intero gruppo di simmetrie del cubo, però le superficie quartiche che possiedono 12 punti doppi nella configurazione di Reye non hanno simmetria cubica, come si può dedurre dagli studi di Goursat sulle superficie quartiche a simmetria cubica sopra citati.

In [H2] troviamo le definizioni di altri tipi di superficie quartiche ed un loro breve studio. Troviamo per esempio la definizione di superficie quartica determinante, è una superficie quartica la cui forma omogenea è un determinante di una matrice 4x4 di forme lineari. Se la matrice 4x4 che definisce la superficie determinante è simmetrica, la superficie si dice simmetroide. Queste superficie hanno almeno 10 punti nodali e proprietà particolari che derivano dall'algebra lineare. Un simmetroide può essere messo in corrispondenza con la Jacobiana di quattro superficie quadriche tramite una mappa birazionale. A seconda delle reciproche intersezioni delle quadriche può aumentare il numero dei piani tangenti doppi e dei nodi del simmetroide; alcuni di essi possono quindi arrivare ad avere 16 punti nodali, cioè essere superficie di Kummer. Un caso particolare di simmetroide è dato dall'Hessiana di una superficie cubica, un esempio sono i modelli III-26, III-27 e III-28.