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Categoria III

Superficie del terzo ordine
[F], [MWC], [H1]

Una superficie algebrica del terzo ordine, o superficie cubica, è una superficie i cui punti, in coordinate cartesiane spaziali, soddisfano ad una equazione di terzo grado. Nello spazio Euclideo è possibile realizzare solo superficie affini reali, mentre la teoria generale delle superficie si occupa soprattutto di superficie proiettive complesse. Possiamo vedere una superficie affine come la parte di una superficie proiettiva che giace nello spazio affine, così ad ogni superficie affine reale corrisponde una superficie proiettiva complessa. Ovviamente una rappresentazione di una superficie affine reale riflette le proprietà della corrispondente superficie proiettiva complessa in modo molto limitato; ciò non toglie che i modelli affini raccolti in questa categoria illustrino alcune interessanti proprietà di questo tipo di superficie.

I primi 25 modelli di questa categoria fanno parte di una serie, chiamata serie di Rodenberg, che consiste in 27 modelli basati sulla tesi di C. Rodenberg, studente di F. Klein. L'idea della serie era di mostrare le forme di tutti i tipi caratteristici di superficie cubiche, con particolare riguardo ai tipi di singolarità che si potevano trovare. Inoltre questi modelli avevano anche lo scopo di mostrare le possibili forme delle superficie cubiche, non distinguendo però le superficie proiettivamente equivalenti. Infatti, esistendo troppe superficie proiettivamente equivalenti che differiscono solo per la loro posizione relativa al piano all'infinito, non sarebbe pensabile di modellarle tutte.
Su [F] viene citata un'osservazione tratta dall'opuscolo originale in tedesco scritto da Rodenberg:
"Due superficie hanno la stessa forma se possono essere deformate con continuità l'una nell'altra, senza passare attraverso una singolarità o cambiare le singolarità esistenti in altre più complicate".
I modelli da III-26 a III-28 sono superficie hessiane di superficie cubiche e non fanno parte della serie di Rodenberg.

La maggior parte dei modelli di questa categoria descrivono superficie con punti di singolarità che possono essere reali, oppure complessi o all'infinito; questi ultimi non sono ovviamente visibili nello spazio reale affine. Inoltre la stessa singolarità complessa può avere diverse forme reali. Questa grande varietà di comportamenti rende le superficie singolari più interessanti rispetto alle superficie regolari, anche per il fatto che un piccolo cambiamento nei coefficienti dell'equazione che le descrive può determinare un drastico ed improvviso cambiamento sia della forma che di molte altre proprietà delle superficie stesse; mentre per le superficie regolari i cambiamenti sono decisamente più lenti. D'altro canto questa varietà è causa di non poche difficoltà per chi intraprende uno studio di classificazione di questo tipo di superficie. Tanto per cominciare, è molto importante scegliere attentamente il sistema di coordinate affine e l'equazione della superficie; poi bisogna trovare i valori delle costanti in modo che le proprietà che interessano siano chiaramente visibili. Spesso è anche necessario "tagliare" quelle parti della superficie che vanno all'infinito, per cui si deve scegliere attentamente la posizione in cui effettuare questo "taglio", in modo tale che la nuova superficie ottenuta dopo il "taglio" non sia fuorviante per la comprensione dell'intera superficie. Un'altra difficoltà nel costruire dei modelli concreti di superficie di questo tipo riguarda la scelta di quale regione dello spazio riempire per modellare la superficie. Un esempio concreto della grande differenza di aspetto si può vedere nei modelli III-8 e III-9, che rappresentano la stessa superficie, solo che la regione di spazio riempita dal gesso è, nei due modelli, complementare.

Un'osservazione importante, fondamentale per la teoria delle superficie cubiche, che si ritrova nelle lettere fra Cayley, Salmon e Sylvester del 1850, è la seguente: ogni superficie cubica (complessa) regolare contiene esattamente 27 rette (complesse).
Su una cubica generica esiste una curiosa struttura geometrica detta doppi sei (double sixies) e anche una particolare disposizione delle 27 rette complesse, come scoperto da Schläfli.
Per una superficie cubica regolare reale il numero delle rette reali sulla superficie dipende dai coefficienti dell'equazione che la descrive e possono essere 3, 7, 15, oppure tutte e 27.
Un doppio sei è una matrice 6x2 formata da 12 delle 27 rette, con la proprietà che due di esse si incontrano se e solo se si trovano in righe e colonne diverse. Su una superficie cubica regolare ci sono 36 doppi sei.
Una classificazione delle superficie singolari è dovuta a Schläfli (1864) e Cayley (1869). Esiste un lato locale ed uno globale di questa classificazione. Il problema locale è di determinare quali singolarità si possono presentare; quello globale è di determinare quali combinazioni di singolarità sono possibili e costruire una gerarchia che descriva quali superficie possono essere deformate l'una nell'altra.
In [F] si trova la seguente definizione di singolarità equivalenti: "due singolarità si considerano equivalenti se una può essere trasformata nell'altra da una trasformazione di coordinate locali (biolomorfa e in generale non lineare)". I calcoli in coordinate locali forniscono la seguente tabella per i tipi di singolarità isolate che si possono presentare su una superficie cubica:

Nome classico	Diagramma di Coxeter
Punto doppio conico
Punto doppio biplanare
"     "      "
"     "      "
"     "      "
Punto doppio uniplanare
"     "      "
"     "      "
Cono ellittico

Tranne che per il cono su una curva ellittica, tutte le altre singolarità vengono dette punti doppi razionali, ad ognuno dei quali è associato uno dei diagrammi di Coxeter dato nell'ultima colonna della tabella. Questi altri 8 tipi di singolarità non si possono trovare in una qualunque combinazione sulle superficie cubiche. Ci sono solo 20 possibilità, come elencato nella seguente tabella:

Tipo	Modello	Tipo	Modello
			23
	18, 19		24
	13, 14, 15, 16, 17
	20, 21		25
			26, 27
			28, 29
	22		30
			31

Le singolarità di tipo vengono spesso chiamate punti doppi ordinari. Il massimo numero di punti doppi ordinari su una superficie cubica è 4. Ovviamente questa è una classificazione dei punti singolari in ambito complesso, per cui può capitare che due modelli in ambito affine reale presentino singolarità differenti, mentre in realtà sono la rappresentazione della stessa singolarità complessa. Come esempi abbiamo i modelli III-13 e III-14, III-17 e III-18.

Se una superficie cubica ha più di 4 punti singolari, allora è singolare lungo tutta una curva. Se la superficie non è un cono, allora si possono presentare due casi:
1. la superficie è composta da un piano ed una quadrica, ed è descritta da un'equazione che è il prodotto di un fattore lineare e di uno quadratico.
2. la superficie è una Cubica Rigata, cioè viene descritta da una linea che si muove nello spazio. Fissate una retta ed una conica nello spazio, ed una proiettività fra di esse, la superficie cubica rigata si ottiene unendo con rette le coppie di punti che si corrispondono nella proiettività.

Un risultato, provato da Clebsch (1861), riguarda la cosiddetta forma pentaedrale della cubica.

[H1] Teorema: una forma cubica generale F( : : : ) può essere messa in modo unico nella forma:

dove le coordinate sono lineari in (: : : ) e soddisfano la relazione . I cinque piani sono i lati del cosiddetto pentaedro di Sylvester, si incontrano a coppie in 10 rette e a terne in 10 punti.