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Categoria II

Curve Gobbe
[T], [P]

Per i primi quattro modelli di questa categoria riportiamo la traduzione dell'opuscolo originale in tedesco, che riguarda i Modelli Matematici costruiti nell'Istituto Matematico della Regia Università Tecnica di Monaco, sotto la direzione di F. Klein, dal titolo I quattro tipi delle curve gobbe del terzo ordine, elaborato dallo studente di matematica E. Lange. Egli scrive:

«Nei confronti d'una curva gobba reale del terzo ordine (cubica gobba) un piano può assumere quattro posizioni tra di loro essenzialmente distinte; e precisamente:

1) può tagliare la cubica in un sol punto reale;
2) può tagliarla in tre punti reali;
3) può essere tangente in un punto e tagliarla in un altro;
4) può oscularla in un punto;

A seconda che il piano improprio (all'infinto) assuma nei confronti della cubica gobba una delle dette posizioni, la stessa cubica viene chiamata:

1) Ellisse cubica
2) Iperbole cubica
3) Parabola cubica-iperbolica
4) Parabola cubica

Queste denominazioni vengono giustificate considerando i cilindri (quadrici, cioè del secondo ordine) ai quali la cubica appartiene.
É noto che una cubica gobba (proiettiva) non è intersezione completa di due superficie (algebriche). Essa può essere ottenuta come intersezione residua di due quadriche aventi una retta (generatrice) comune.
Per l'effettiva rappresentazione è preferibile usare coni e cilindri (quadrici) anzichè iperboloidi rigati.
Una cubica gobba si può sempre presentare come intersezione residua di due coni (eventualmente cilindri) quadrici con vertici appartenenti alla cubica stessa. Le curve dei modelli sono tracciate su cilindri e perciò, a spiegazione dei modelli, è dapprima necessario determinare i cilindri (quadrici) ai quali la cubica, a seconda dei tipi, appartiene.

1) Il cilindro proiettante l'ellisse cubica dal suo unico punto improprio è necessariamente elittico e la cubica può ottenersi come intersezione residua di detto cilindro con il cono proiettante la stessa da un altro suo punto.
2) Ciascuno dei tre cilindri proiettanti l'iperbole cubica da uno dei tre punti all'infinito è iperbolico; la cubica può presentarsi come intersezione residua di uno dei tre cilindri, oppure come in 1).
3) Il cilindro proiettante la parabola cubica iperbolica dal punto P di tangenza con il piano all'infinito è iperbolico (con generatrici all'infinito la tangente in P alla cubica e la retta PQ, Q essendo l'ulteriore punto all'infinito della cubica). Il cilindro proiettante la cubica da Q è parabolico ed ha come generatrice all'infinito la retta QP, lungo la quale il piano all'infinito è tangente al cilindro. La cubica può essere presentata come intersezione residua dei due cilindri.
4) Il cilindro proiettante la parabola cubica dal punto P di osculazione con il piano all'infinito è parabolico; esso ha come (unica) generatrice all'infinito la tangente in P alla cubica e il piano all'infinito (osculatore alla cubica in P) è tangente al cilindro lungo detta tangente. La cubica può essere ottenuta come intersezione del cilindro con un cono.»

Sull'opuscolo in tedesco seguono alcune considerazioni, che si possono così riassumere:
I) generazione di cubiche (gobbe) come curve dedotte per "piccola variazione" da cubiche spezzate in una conica e una retta r (con un punto P di connessione)

II) passaggio con continuità da un tipo di cubica ad un'altro. Ad esempio, si può passare con continuità dal tipo 1) al tipo 2) passando attraverso il tipo 3) oppure il tipo 4).

Il modello II-5 è un modello in filo con castello in metallo, che rappresenta una quartica gobba di prima specie giacente su quattro coni reali. Essa è ottenuta dall'intersezione di questi quattro coni. Ad ogni punto della curva, in cui si incontrano sempre quattro fili, è fissata una perlina; in questo modo è evidenziata tutta la traiettoria della curva.